圆锥曲线含参问题求解中不等关系的构建

☉湖北省武汉市钢都中学 姜名山

圆锥曲线含参问题求解中不等关系的构建

☉湖北省武汉市钢都中学 姜名山

圆锥曲线中的参数问题一直都是高考的重点和难点，而很多考生往往无从下笔.为此笔者给出几种解决这类问题的几种途径.我们知道要求未知量的值必须建立关于未知量的方程，要求参数的取值范围必须要建立关于参数的不等式.那么，在圆锥曲线中如何寻找不等关系就变得非常重要了，有些不等式一目了然，有些不等关系则暗含在题目条件里.那么从哪几个方面去寻找不等关系呢？

一、利用几何图形中的特殊位置建立不等式

例如椭圆的焦半径，双曲线的焦半径就有一个自身的变化范围，这个范围是我们经常需要用来建立不等式的.

评析：此题中要求离心率的范围，那么其实就是建立圆锥曲线中a、b、c三者的不等式，而题目中又涉及到焦半径，那么就利用椭圆中焦半径的取值范围来建立不等式.

二、利用直线和圆锥曲线交点个数建立不等式

评析：该题有两个条件和限制k的取值范围，一个是恒有两个交点，那么判别式就应当大于零.另外一个就是题目已经出现的O≠→A·O≠→B＜6.

三、利用题目中已知的范围去建立不等式

在有些题目中往往已经给出了某个量或者表达式的范围，那么我们只需要把要求的参数与该表达式建立起关系，利用已知的范围进行求解.

例3如图1，两条过原点O的直线l1、l2分别与x轴、y轴成30°的角，已知线段PQ的长度为2，且点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动.

图1

（1）求动点M（x1，x2）的轨迹C的方程；

（2）设过定点T（0,2）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.

此题就是利用∠AOB为锐角这个条件建立的关于k的不等式，那么中间把∠AOB为锐角的不等式转换到k上来就是解题的关键.

本文重在给学生指出寻找圆锥曲线含参数问题中不等关系的三个基本思路.以此抛砖引玉，望考生不断归纳总结，使自己的知识系统更完备.■