基于傅里叶描述子的形状特征提取的讨论与研究

武 丽 陈 军 张海瑞

郑州大学西亚斯国际学院，河南郑州 451150

基于傅里叶描述子的形状特征提取的讨论与研究

武 丽 陈 军 张海瑞

郑州大学西亚斯国际学院，河南郑州 451150

形状特征是物体的最重要的视觉特征之一，本文提出利用傅里叶描述子来提取物体形状特征的频谱信息，阐述了利用低频信息即可用来表征物体的形状，从而提高了图像检索的实时性及准确性，并利用Matlab实验论证了该算法的有效性及可行性。

图像检索；形状特征；傅里叶描述子；Matlab

引言

图像检索的研究从上个世纪70年代已经开始，发展至今，已经成为多媒体应用技术领域的一个研究的热点。其发展主要包含两个分支：1）基于文本的图像检索（TBIR，Text-based Image Retrieval）；2）基于内容的图像检索（CBIR，Content-based Image Retrieval）。而形状是物体的一个重要的视觉特征，相对于纹理、颜色、布局等其他特征，形状特征更能从语义上描述物体的内容，因此分析物体的形状特征是CBIR研究领域的一个重要内容。形状特征的一个焦点就是如何描述形状，即如何有效提取物体的形状特征，它是完成形状的匹配、识别、分析、检索等后续任务的关键[1]。当今的形状描述方法可分为基于区域的形状描述子和基于轮廓线的形状描述子两大类，前者是从这个目标图像的区域来提取物体的形状特征，而后者是考虑物体边界上的像素点。

本文利用傅里叶变换提取物体的形状特征，这是一种极其有效的形状描述算法，其主要思想是将图像空间从二维空间域变换到频率域，用图像的频谱信息来描述形状，这种算法又称为傅里叶描述子（FD, Fourier Descriptors）。本文主要研究傅里叶描述子的提取以及利用傅里叶描述子对物体形状进行恢复，详细阐述了该算法的优势及可行性。

1 傅里叶描述子的基本原理

傅里叶描述子的基本思想如图1所示。

图1 封闭曲线

假定物体的形状是一条封闭、连续、光滑的曲线，在图形边界上找出任一点作为始点，如（x0，y0），沿着顺时针方向依次取N点至（xN，yN），x、y分别为边界点的空间横坐标和纵坐标。将N+1对坐标值赋值给复变量U，其中x的值赋值给U的实部，y的值赋值给U的虚部。可得下式（1）

这里引入复变量U(k)，从而将二维空间的变量转到一维空间。对U(k)求快速傅里叶变换得F(μ)，见下式（2）

参数F(μ)为复变量U(k)的频率信息，本文中称为傅里叶描述子，是物体形状边界曲线的傅里叶变换系数, 即物体边界曲线信号的频域分析的结果。傅里叶描述子F(μ)数值的变化体现了物体边界信息在空间坐标上变化的快慢程度。傅里叶描述子中的低频系数体现了物体大致的形状，而高频系数则代表了物体更为精确的形状信息。

2 傅里叶描述子的提取及形状恢复

通过上述分析可知，对物体的边界曲线求傅里叶变换，便可得到频域信号，即傅里叶描述子，提取其低频系数也就获取了物体的大致情况，从而在存储物体形状信息时，节省了大量的内存空间，这也成了利用物体形状特征作为基于内容的图像检索的一个重要优势[2]。下面我们利用Matlab软件仿真，验证上述算法的可行性。

2.1 图像预处理

在图像的形成、传输过程中，由于受到多种因素的干扰，会造成所获取的图片和真实图像存在一定的差别，毫无疑问这将会影响计算机对图像的检索，因此在进行目标提取之前，一般都需要对图像进行预处理，比如图像平滑，图像增强等等，主要是为了消除图像生成过程中的噪音，增强图像对比度，从而获得更为清晰的图像，便于后续处理和分析[3]。为了描述方便，我们生成一个60*60的黑底图片内嵌一个20*20的白色图形为原始图片，如图2所示：

图2 原始图片

2.2 傅里叶描述子的生成及形状恢复

扫描图像，获取图像目标的空间形状信息，得到图形的边界信息，如图3所示。

对空间坐标求快速傅里叶变换，便可以得到傅里叶描述子F(μ)，其表征了物体形状在空间坐标上变换情况。下面分三种情况对原始图形进行恢复：

情况一：利用前两个傅里叶描述子系数来恢复物体的形状。实现方法：选傅里叶描述子的前两个系数，对其求快速傅里叶反变换，即可得到物体形状的空间信息，如图4，该图为一圆形，已经不能准确表征物体的形状信息，由此可见，傅里叶描述子的前两个低频系数近似地代表了物体形状的直流信息；

图3 图形边界

图4 前两个FD系数恢复的图形

情况二：利用前八个傅里叶描述子系数来恢复物体的形状。具体操作见情况1，结果如图5，可见物体形状的空间信息已经得到了较好的恢复；

图6 前八个FD系数恢复的图形

情况三：利用所有的傅里叶描述子来恢复物体的形状。理论而言，此时应该对原物体的形状信息无损失恢复，实验结果正是如此，如图6。

综合以上三种情况，可见傅里叶描述子代表了物体的形状信息，利用傅里叶描述子对其求傅里叶反变换，便可恢复物体形状信息。本实验显示利用八个傅里叶描述子系数便做够表征物体的形状信息了。当然傅里叶描述子的系数越多，物体的形状特征就会越明显，如图6所示。

图6 所以的FD系数恢复的图形

下面我们再举一个例子，两片树叶的原始图片，如图7所示：

图7 两种树叶的图片

分别对其求傅里叶描述子，并利用前二十个FD系数，恢复物体形状，如图8所示：

图8 前二十个FD系数恢复的树叶图片

由此可见对图7两种树叶的识别，只需要前二十个傅里叶描述子便可代表物体的形状信息，进而准确区分两种叶子的种类。

通过以上分析可知，傅里叶描述子个数的选择，应根据物体图形的复杂程度来多次选择，从而既能够使傅里叶描述子代表物体的形状信息提高检索的精确度，又能节省内存空间，减少运算量，从而降低成本。

3 结语

物体的形状描述是图像分析领域的热点话题，有着很多潜在的应用[4]。本文详细阐述了利用傅里叶描述子对物体的形状特征的提取。该算法以快速傅里叶变换为基础，计算简单，快速。同时，利用傅里叶描述子中的低频信息表征物体的形状，使运算量得到了较大的减少，进而降低成本。

[1]Rafael C. Gonzales and Richard E. Woods，‘Digital image processing’

[2]Jonas De Vylder,‘IMPROVED FOURIER DESCRIPTORS FOR 2-D SHAPE REPRESENTATION’

[3]姚玉荣.利用小波和矩进行基于形状的图像检索[J].中国图像学报，2000，5(3)：206-210

[4]鲁晋，沙莎.一种基于傅里叶变换的形状描述方法[J].科技广场，2010：80-82

武丽（1983-）.女，助教，硕士，郑州大学西亚斯国际学院电子信息工程学院，主要从事信号处理方向的教学与研究；

陈军（1972-）.男，工程师，硕士，郑州大学西亚斯国际学院电子信息工程学院，主要从事自动化方向的教学与研究；

张海瑞（1983-）.女，助教，硕士，河南省防空兵学院基础部，主要从事电子方向的教学工作。