一维阶梯杆有限元建模与误差分析∗

高优静，谢 荣

（陕西省机械研究院，陕西西安 712000）

一维阶梯杆有限元建模与误差分析∗

高优静，谢 荣

（陕西省机械研究院，陕西西安 712000）

在Ansys、Pro／Mechanica、Cosmos环境下创建了一维阶梯杆的有限元模型，采用不同有限元算法计算出一维阶梯杆的应力、应变、位移。将真实结果与有限元软件得出的近似解进行求差，通过误差分析对这三种有限元算法在静力学分析方面的求解精度进行比较，以此来评估这三种算法在处理同一问题时的优劣性，为解决实际工程问题时选择一种合适的有限元算法提供参考和依据。

有限单元法；一维阶梯杆；静态分析；误差分析

1 引 言

目前，有限单元法已被广泛应用于各行各业，已成为了工程设计和研究人员的重要工具。实践表明，有限单元法是工程分析中重要的数值算法，工程中许多复杂的问题，以及计算难度大的问题，都可通过有限单元法获得很好的计算结果［1］。随着计算机技术的迅猛发展，加上相关专业领域的不断进步，关于有限单元法的一些数值算法也在不断推陈出新，同时也产生了一些基于不同算法的有限元分析应用软件，如Ansys、Nastran、Abaqus、Marc、Cosmos等都是业界很优秀的分析工具。

对于实际工程问题，选择一种合适、快捷、计算精度能满足要求的有限元分析工具，不仅可有效保证研究对象的安全性和可靠性［2］，同时也可提高分析问题和解决问题的效率。笔者以一维阶梯杆为研究对象，通过三种不同算法的有限元分析软件（Ansys、Pro／Mechanica、Cosmos）对其进行静力学分析，通过误差分析对3种不同有限元算法在计算同一问题时的优劣性进行了比较，为处理实际工程问题时选择一种合适的有限元分析工具提供了参考和依据。

2 一维阶梯杆结构

以一维阶梯杆结构为研究对象，通过有限单元法分析其在外力载荷作用下的应力、应变和位移。一维阶梯杆的结构如图1所示，左端铰支，右端承受轴向载荷F，由杆1和杆2两部分构成，其材料属性相同。已知相应的弹性模量、泊松比、结构尺寸及载荷分别为：E1＝E2＝2×107Pa，λ1＝λ2＝0.3，A1＝2，A2＝2 cm2，L1＝L2＝10 cm，F＝10 N。

图1 1D阶梯杆结构

3 有限元分析

3.1 有限元建模

根据图1信息，分别在 Ansys、Pro／Mechanica、Cosmos环境下创建一维阶梯杆的有限元模型，如图2所示。为使计算结果具有可比性，建模过程中边界条件的处理及载荷施加位置均保持一致，同时采用相同的单元类型（即网格形状均为四面体结构），并通过网格控制保证3种环境下有限元模型具有相同的单元数量和自由度。有限元模型相关信息如表1所列。

图2 1D阶梯杆有限元模型

表1 有限元模型相关信息

3.2 静力学分析结果

采用不同的有限元算法对1D阶梯杆进行静力学分析，获得了应力、应变和位移的图解结果，如图3～5所示。

图3 Ansys计算结果

图4 Mechanica计算结果

图5 Cosmos计算结果

根据以上计算结果，可以统计获得一维阶梯杆结构中杆1、杆2的应力与应变，以及点A、B、C处的位移，具体数值如表2所列。

表2 应力计算结果 ／Pa

4 误差分析

有限单元法在数学上是一种基于离散原理的近似数值算法，所以各种有限元分析软件所计算出的结果与真实解之间都存在一定误差，采用不同的算法，最终计算出的误差大小也会有差异［3－4］。在此，笔者对1D阶梯杆的有限元分析结果进行误差分析，即用有限元分析得出的近似解与材料力学方法计算出的准确解求差，获得计算结果的绝对误差，通过绝对误差的大小来衡量ANSYS、Pro／Mechanica、Cosmos这3种有限元分析软件的求解精度，进而得出不同有限元算法在静力学分析方面的准确性。将表2～4中的近似分析结果与文献［4］中的理论准确解进行求差，分别得出3种有限元算法在计算1D阶梯杆应力、应变、位移时的绝对误差，如表5～7所列。

表3 应变计算结果

表4 位移计算结果 ／m

表5 应力计算误差 ／Pa

表6 应变计算误差

表7 位移计算误差 ／m

以理论计算准确解为参考，表5～7中数据为正表示有限元分析近似结果偏大，数据为负表示近似结果偏小。对比表中数据可知，Cosmos的分析结果误差最小，与真实解最相近，求解精度最高；Mechanica除A点位移之外其它物理量的求解误差均小于An⁃sys，说明Mechanica的整体求解精度要高于Ansys，但是在边界条件处理方面存在一定缺陷。由此可知，在结构静力学分析方面，Cosmos采用的快速有限元算法求解精度最高，Mechanica采用的自适应求解算法次之，而Ansys采用的稀疏矩阵求解算法求解误差与前两者相比明显偏大，所以在处理实际工程中的静力学问题时，如果要求计算精度较高，可优先考虑采用Cosmos进行有限元分析。另外，由表中数据可以清晰地看出，不管是哪种有限元算法，最后计算出来的近似解与真实解之间的误差均很小，可见一般情况下，这3种有限元分析软件的计算结果与真实结果均很接近，只是接近的程度不同。

5 结 语

由以上分析可知，对于同一工程问题，不同的有限元算法分析结果存在明显差异，即计算误差有大有小。通过误差分析，可有针对性地选择一种计算精度较高的有限元算法来处理相关问题，以此提高计算精度，减小计算误差。需要注意的是，这种近似误差是不可避免的，只能尽量减小而无法消除，这也是有限元分析在工程应用中应该始终遵循的一个法则。

［1］ 朱伯芳.有限单元法原理与应用［M］.第3版.北京：中国水利水电出版社，2009.

［2］ 刘国良.SolidWorks 2007完全学习宝典［M］.北京：电子工业出版社，2007.

［3］ 詹友刚.Pro／Engineer中文野火版3.0快速入门教程［M］.北京：机械工业出版社，2006.

［4］ 曾 攀.有限元基础教程［M］.北京：高等教育出版社，2009.

Finite Element Modeling and Error Analysis of 1D Bar

GAO You－jing，XIE Rong
（Mechanical Design Institute of Shaanxi Province，Xi′an Shaanxi 712000，China）

The finite element model of 1D bar is separately set up in Ansys，Pro／Mechanica and Cosmos software，the stress，strain and displacement of 1D bar are calculated by different finite element methods.The subtract is made between true results and approximations，then the calculate accuracy of the three finite element methods about static analysis are compared by error analysis，the advantage of the three algorithms are evaluated based on that，and a basis and reference are offered to choose an appropriate algorithm when solves engineering problem.

finite element method；1D bar；static analysis；error analysis

TS103.3

A

1007－4414（2013）04－0047－02

2013－06－04

高优静（1987－），女，陕西咸阳人，助理工程师，主要从事检测与咨询方面的工作。