炭黑填充天然橡胶超弹性本构方程的适用性分析

王新宇，岳冬梅，杨海波，张立群

（北京化工大学 有机无机复合材料国家重点试验室，北京 100029）

在提高橡胶制品研发质量、缩短研发周期方面，有限元技术发挥着越来越重要的作用。国内外学者对于超弹性本构方程已有一些研究[1-4]，并开发出不同混合本构模型[5-7]或新构造本构模型[8]，然而在工程应用中其适用性和准确性还有待验证；同时轮胎和输送带等橡胶制品经常在复杂的受力环境中使用，因此研究本构方程对处于复杂受力状态下的橡胶制品的准确计算至关重要。需要指出的是，填料填充橡胶在连续循环载荷作用下，由于内部弱键链段的缠结或断裂，以及填料颗粒与橡胶基体之间发生弱键分离，导致橡胶产生应力软化[9-10]以及永久变形[11-13]。在以往的研究中，研究者们较少关注在永久变形条件下橡胶制品力学性能的仿真建模，故系统地研究不同本构方程对在有/无永久变形条件下橡胶制品力学性能计算精度的影响非常必要。

本工作以炭黑填充天然橡胶（NR）制成的短粗三点弯曲压缩试样（以下简称三点弯曲试样）作为研究对象，采用Abaqus有限元软件建立与试验过程相符的有限元模型，分析在有/无永久变形条件下试样作用力与位移的关系，并与试验数据进行对比，判断不同本构方程的计算精度，为工程应用橡胶材料选择合适的本构方程提供参考。

1 实验

1.1 试验配方

NR（RSS1） 100，氧化锌 3，硬脂酸 1，炭黑N234 40，促进剂CBS 1.5，硫黄 1。

1.2 试样制备

使用哈克密炼机将塑炼NR捏合均匀，然后依次加入氧化锌、硬脂酸和炭黑，混炼均匀后取出；密炼胶置于开炼机上加入促进剂和硫黄，混炼均匀后下片；混炼胶停放24 h后使用平板硫化机硫化（143 ℃×9 min）。

1.3 单轴拉伸和平面拉伸及等双轴拉伸试验

使用中国台湾高铁检测仪器有限公司生产的拉力试验机对单轴拉伸和平面拉伸试样（2 mm厚）进行10次加载-卸载试验，以消除试样的Mullins效应，并得到稳定的加载曲线，取最后一次加载的应力-应变数据。等双轴拉伸试验数据采用上述类似方法测试[14]。在进行有限元分析时同时输入以上3种基础试验数据能够确保更精确的力学性能计算精度[15]。力学性能计算精度（ζ）的计算公式为

式中，C和T分别为计算值和测试值。

1.4 三点弯曲试样压缩试验

三点弯曲试样压缩试验如图1所示，试样尺寸为200 cm×20 cm×30 cm，工作尺寸为70 cm×20 cm×30 cm。试验采用拉力试验机，模具为自制专用测试模具。测试时夹具固定，夹具两端夹紧试样，采用位移加载方式对试样进行加载-卸载10次，以消除试样的Mullions效应，直至得到稳定的力-位移曲线，取最后一次加载的力-位移数据。为保证试验数据的准确性，重复试验5次，测试曲线都高度重合，并在竖直方向产生1.1 mm的永久位移。

图1 三点弯曲试样压缩试验Fig.1 Compression test of three point bending sample

2 有限元模型

2.1 几何模型

在有/无永久变形条件下三点弯曲试样的几何模型如图2所示。模型建立过程真实还原试验过程，试样两端上下表面建为刚性面来模拟夹具的夹持端面，采用绑定接触方式将刚性面与试样完全固定；建立弯头刚性体模拟试验压头，弯头设置沿Y轴负方向的14 mm位移载荷。原始（无永久变形）试样模型包含6 900个单元、8 272个节点，单元类型为C3D8H杂交单元；有永久变形试样模型包含8 250个单元、9 856个节点，其中C3D8H单元为5 250个、C3D8R单元为3 000个。在有限元模拟过程中，计算三点弯曲试样竖直向下压缩14 mm过程中参考点的作用力，得到力-位移曲线。

图2 有/无永久变形三点弯曲试样的几何模型Fig.2 Geometric models of three point bending samples with or without permanent deformation

2.2 本构方程

超弹性材料的本构关系是用应变势能来描述的，它定义了材料中某一点单位参考体积存储的应变能作为该点的应变函数，经过系列求导过程得到本构方程。在Abaqus软件中自带六大类可用于近似不可压缩材料的超弹性本构方程：Arruda Boyce，Marlow和Van Der Waals方程，一至二阶Polynomial方程，一至六阶Ogden方程，一至六阶Reduced Polynomial方程，共17种本构方程。

3 结果与讨论

3.1 力的计算误差分析

17种橡胶材料超弹性本构方程对在有/无永久变形下三点弯曲试样力的计算误差如图3—19所示。

由 图3—19可 见，Arruda Boyce，Marlow和Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差随着位移的增大逐渐减小，且以有永久变形试样作为建模对象的计算误差小于以无永久变形试样作为建模对象的计算误差，尤其是二阶Polynomial方程在位移最大值的计算误差仅为0.08%，即计算精度达到99.92%，其在位移小于5 mm时计算误差大于10%，在位移为5～9 mm范围内计算误差大于5%，在位移大于9 mm时计算误差小于5%。Van Der Waals方程在位移超过2.8 mm临界点后，以有永久变形试样作为建模对象的计算误差大于以无永久变形试样作为建模对象的计算误差，整体计算误差小于20%。一至三阶Ogden方程对三点弯曲试样力的计算误差随着位移的增大逐渐减小，且以有永久变形试样作为建模对象的计算误差小于以无永久变形试样作为建模对象的计算误差，尤其是三阶Ogden方程在最大位移时的计算误差仅为0.73%，即计算精度达到99.27%，其在位移小于6 mm时计算误差大于10%，在位移为6～9 mm范围内计算误差大于5%，在位移大于9 mm时计算误差小于5%；四至六阶Ogden方程在位移分别超过8.3，5.7和5.0 mm临界点后，以无永久变形试样作为建模对象的计算误差小于以有永久变形试样作为建模对象的计算误差，并且随着阶数的增大，临界点位移逐渐减小，四阶Ogden方程在位移大于9 mm时计算误差小于1%，具有非常高的计算精度。一至二阶Reduced Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差随着位移的增大逐渐减小，且以有永久变形试样作为建模对象的计算误差小于以无永久变形试样作为建模对象的计算误差；三至六阶Reduced Polynomial方程在位移分别超过7.6，4.7，3.2和2.5 mm临界点后，以无永久变形试样作为建模对象的计算误差小于以有永久变形试样作为建模对象的计算误差，并且随着阶数的增大，临界点位移逐渐减小，三阶Reduced Polynomial方程在位移大于8 mm时计算误差小于1%，具有非常高的计算精度。

图3 Arruda Boyce方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.3 Force calculation errors of Arruda Boyce equation for three point bending samples

图4 Marlow方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.4 Force calculation errors of Marlow equation for three point bending samples

图5 Van Der Waals方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.5 Force calculation errors of Van Der Waals equation for three point bending samples

图6 一阶Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.6 Force calculation errors of Polynomial first order equation for three point bending samples

图7 二阶Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.7 Force calculation errors of Polynomial second order equation for three point bending samples

图8 一阶Ogden方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.8 Force calculation errors of Ogden first order equation for three point bending samples

图9 二阶Ogden方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.9 Force calculation errors of Ogden second order equation for three point bending samples

图10 三阶Ogden方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.10 Force calculation errors of Ogden third order equation for three point bending samples

图11 四阶Ogden方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.11 Force calculation errors of Ogden fourth order equation for three point bending samples

图12 五阶Ogden方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.12 Force calculation errors of Ogden fifth order equation for three point bending samples

图13 六阶Ogden方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.13 Force calculation errors of Ogden sixth order equation for three point bending samples

图14 一阶Reduced Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.14 Force calculation errors of Reduced Polynomial first order equation for three point bending samples

图15 二阶Reduced Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.15 Force calculation errors of Reduced Polynomial second order equation for three point bending samples

图16 三阶Reduced Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.16 Force calculation errors of Reduced Polynomial third order equation for three point bending samples

图17 四阶Reduced Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.17 Force calculation errors of Reduced Polynomial fourth order equation for three point bending samples

图18 五阶Reduced Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.18 Force calculation errors of Reduced Polynomial fifth order equation for three point bending samples

图19 六阶Reduced Polynomial方程对三点弯曲试样力的计算误差Fig.19 Force calculation errors of Reduced Polynomial sixth order equation for three point bending samples

3.2 有限元分析结果

三点弯曲试样压缩14 mm的有限元分析结果如图20所示。

由图20（a）可见，试样中心处向下位移14 mm，试样位移由中间向两边依次减小。图20（b）—（d）分别示出沿X轴的拉伸应变（NE11）、沿Y轴的压缩应变（NE22）以及在YZ平面沿Y轴的剪应变（NE12），应变和应力结果表明了试样复杂的受力状态，与试验预期相符合。

图20 三点弯曲试样应变-应力计算云图Fig.20 Nephograms of strain-stress calculation of three point bending samples

4 结论

随着橡胶制品的使用环境越来越复杂，对其受力计算精度的要求也越来越高。本工作选用炭黑填充NR制成三点弯曲试样，在复杂的受力状态下采用不同本构方程对有/无永久变形试样进行建模和有限元分析，结果表明：对于无永久变形试样，四阶Ogden和三阶Reduced Polynomial方程在大位移下有非常高的计算精度；对于有永久变形试样，三阶Ogden和二阶Polynomial方程在大位移下有非常高的计算精度。

在工程应用中，一般要求模型的计算误差控制在10%以内，即计算精度达到90%以上能够满足设计需要，本工作模型的计算精度完全满足应用条件。此外，本工作模型基于超弹性本构方程，橡胶制品在使用过程中的粘弹性等影响因素在一定程度上会对其计算结果产生影响。

在使用有限元软件对橡胶制品力学性能进行有限元计算时，惯性思维使人们直接采用试样原始尺寸进行建模，但是由于橡胶材料在重复使用中会发生永久变形的特殊性质，对产生永久变形试样进行建模同样重要。