简单迭代法的应用研究

苏丽娟

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601）

1 简单迭代法

迭代法是一种常用的数值计算方法，是从某一给定初始值p0出发，重复（有限次）进行某种计算过程（处理、操作），从而不断接近精确值，实现所求结果.在此过程中会产生一个迭代序列，其序列极限就是待求的精确值.

所谓的简单迭代法，又称定点迭代法、不动点迭代法或者Picard迭代法，它是一种特殊的迭代法，其迭代公式必须满足：pn+1=g(pn)，其中g(x)称为简单迭代函数.

鉴于简单迭代公式pn+1=g(pn)中，只包含两个相邻的迭代项pn和pn+1，且后一项pn+1可由前一项pn显示表达出来，因此在计算中简单迭代法非常便于实现，具有很好的可操作性.简单迭代法在实际使用中，最关键的事情就是确定简单迭代函数g(x).下面将探讨简单迭代法在数值分析中的一些重要应用[1,2].

2 在计算函数不动点中的应用

给定一个函数φ(x)，若存在p∈R，满足p=φ(p)，则称x=p为函数φ(x)的一个不动点（或者定点）.

关于上述不动点x=p的近似值，就可以用简单迭代法来计算，只需取简单迭代函数g(x)=φ(x)即可.

此时，计算不动点的简单迭代公式为：

3 在求解非线性方程中的应用

关于非线性方程f(x)=0，设x=p为方程的根，即f(p)=0.

当函数f(x)一阶连续可导时，可以用函数f(x)在近似根x=pn处的一阶泰勒展开式f(pn)+f'(pn)(x-pn)近似代替f(x),将原方程f(x)=0近似地化为一次方程f(pn)+f'(pn)(x-pn)=0.用此方程的根作为原方程的近似根,记新的近似根为x=pn+1,则得到求解非线性方程f(x)=0的简单迭代公式：

上述简单迭代法也称Newton迭代法.当x=p为方程f(x)=0的单根时，此迭代法是二阶收敛的，即平方收敛；当x=p为方程f(x)=0的M≥2重根时，此迭代法是一阶收敛的，即线性收敛.如果采用近似程度更高的二阶泰勒展开式,构造出来的简单迭代公式阶数更高、收敛速度更快[3].

另外，此简单迭代法还可以推广到M≥2重根的情况中去，并保持平方收敛速度不变，此时的简单迭代法常称为改进型Newton迭代法.此时只需令改进型简单迭代公式：

4 在求解线性方程组中的应用

简单迭代法除了应用在计算不动点和求解非线性方程中，还可以推广到多元或高维情况中去，例如求解非线性方程组或者线性方程组.

设线性方程组

的矩阵表示为AX=b.其中A为非奇异的系数矩阵，b是右端项，X为解向量.

把方程组AX=b改写成便于迭代的形式，其方法是多种多样的.其中最简单的一种方法就是简单迭代法，求解线性方程组AX=b简单迭代公式一般为：

其中简单迭代函数为g(X)=BX+c，矩阵B称为简单迭代法的迭代矩阵.

简单迭代法中的公式（4） 中，如果取迭代矩阵B=E-D-1A，E为单位阵，常数项c=D-1b，对角阵D=diag(a11,a22,…,aNN)，近似解向量Pn=(x1(n),x2(n),…,xN(n))T，此时简单迭代法也称Jacobi迭代法.当选择其它不同的B和c时，Jacobi迭代法可相应推广为Seidel迭代法和松弛法，这三种方法，都是广义的高维简单迭代法.

5 总结

综上所述，简单迭代法在数值分析中有着非常广泛的应用和极其重要的地位，同时简单迭代法作为一种最特殊的迭代法，发展历史悠久，收敛性条件易得，理论分析简单完整.简单迭代法不但迭代公式简单明了，便于实现，且计算速度极快，计算效率很高，有很大研究和探讨价值.

〔1〕John H. Mathews，Kurtis D. Fink,数值分析[M].(英文版).北京:电子工业出版社，2009.

〔2〕徐萃薇,孙绳武.计算方法引论[M].北京:高等教育出版社，2002.

〔3〕陈天雄.New ton 迭代法的应用研究[J].荆楚学院学报,2010,25(7):42-45.