一种最简单“(2n-1)阶幻方”(ηεZ )的填数方法

　　笔者一直从事小学数学算术基础理论、小学数学教材教法以及小学数学活动课的教学和研究工作，经常深入到小学听课或带学生到小学开展实习指导工作。我们在小学数学教材上或寒暑假作业经常看到最简单的幻方问题，有许多教师和学生也在研究关于幻方的填数问题，但是他们都感到无从下手或者伤透脑筋。
　　如，由1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数组成的一个三行三列的三阶幻方（如下图所示），使其对角线、横行、纵向的三个数的和都为15，称这是最简单的三阶幻方，其幻和为15。
　　
　　当然，这种简单的三阶幻方，只要我们想办法、动脑筋，还是比较容易得到结果的。如下：
　　
　　上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。南宋数学家杨辉概括其构造方法为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”，得到了比较简单的三阶幻方的填数方法。我们在其他书上也看到有多种填数的方法，如对称交换法、田格图阵法、推理法、列方程组解法、电脑程序法等等。但是，我在教学实践活动中，经过大量的探索研究发现，这些方法不是最简单的（2n-1）阶幻方（n?着Z）的填数方法，有一种最简单的直截了当的填数方法。这种方法就像我们在做小学数学的加法和减法时，必须用加法和减法法则一样那么简单，加法法则是“数位对齐、从个位加起，满十进一”；减法法则是“数位对齐、从个位减起，退一当十”。其实，按照数学理论讲，加法和减法都不是这样做，只是大家为了简单方便，才采用这样的法则。
　　根据这一理念，我通过反复实践，终于得出了一种很简单的（2n-1）阶幻方（n?着Z） 的填数方法，那就是一个法则。如下，最小数居上行正中央，依次斜填往上走；走出上框直下填；走出右框直左填；遇见有数紧下填；挨着顺序填下去；填到最后一个便完成；不用思考与计算；横行，纵行，对角线上数的和绝对是一样；要想知道幻和是多少，最好用电子表格按“求和键”便知道，（2n-1）阶幻方一气呵成便填好。
　　具体操作如下：
　　一、如果是连续排列的 （2n-1）2（n?着Z） 个数，直接按照以上法则进行填数
　　例1：将10～18这9个数填在三阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的三个数的和都一样，其幻和是多少？
　　按照以上法则直接填数得：
　　
　　
　　 上面是三阶幻方填数走向图，其他阶幻方走向图与其一样。
　　
　　它们的和是42。
　　例2：将-10～14这25个数填在五阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的五个数的和都一样，其幻和是多少？
　　按照以上法则直接填数得：
　　
　　它们的和是10。
　　二、如果不是全部连续排列的（2n-1）2（n?着Z） 个数，但是先有（2n-1）个数是连续排列，中间相距k（2n-1）个数［（k?着Z），也即是（2n-1）个的k倍数这个条件，否则就不满足幻和全一样］，又有（2n-1）个数连续出现，这样重复相距和出现，直到有（2n-1）2（n?着Z）个数为止，也按照以上法则直接进行填数
　　例3：将9ca1036c4edcbadb3ca96ac34d791a5f3479d464dd66f553b9847ba25efbe8fc0～6、15～21、29～35、43～49、57～63、71～77、85～91这49个数填在七阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的七个数的和都一样。它们的幻和是多少？（七阶幻方，中间必须是相距七的倍数，否则就无法满足幻和一样，其他（2n-1）（n?着Z）阶幻方也同样与阶数的倍数相距出现）
　　按照以上法则直接填数得：
　　
　　它们的幻和是321。
　　例4：将-9～-7、0～2、9～11这9个数填在三阶幻方中，使得对角线、横行、 纵向的三个数的和都一样。它们的幻和是多少？
　　按照以上法则直接填数得：
　　
　　它们的和是3。
　　三、有些题目出现的数表面上看排列非常凌乱，没有规律，也无从下手，但是只要我们作适当调整，重新以从小到大排列，这样，要么全部是连续排列的（2n-1）2（n?着Z）个数；要么是相距排列的（2n-1）2（n?着Z）个数，因此也按照以上法则直接进行填数，否则就无法解决了
　　例5：将-1、11、33、-45、-23、13、35、-43、-21、-9、-49、-27、-5、17、39、-25、-3、19、31、-47、37、-41、-29、-7、15这25个数填在五阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的5个数的和都一样。它们的幻和是多少？
　　解：从题中表面上看，要解决这个问题非常难。其实，对于这类问题，只要我们按照从小到大的顺序重新排列一下，就得到-49、-47、-45、-43、-41、-29、-27、-25、-23、-21、-9、-7、-5、-3、-1、11、13、15、17、19、31、33、35、37、39这样的25个数。这样的25个数是5个数一组，中间相距一个数，组与组之间又相距10个数。这样排列后，我们还是按照以上法则就可以直接进行填数了。
　　
　　它们的幻和是-25。
　　注：如果我们按照从小到大重新排列后，还是得不到一定的排列规律，这类问题我们就无法解决了。大家不妨试一试，请赐教！
　　（责编 蓝 天）