构建有“深度”的数学课堂

　　背景：2011年11月3日至5日，江苏省2011年“舜湖杯——教海探航”征文颁奖大会暨“苏派、京派和浙派”教学观摩研讨活动在吴江市盛泽实验小学隆重举行。受江苏教育出版社的邀请，我代表京派，与浙派的朱国荣、苏派的王凌两位特级教师同上一节课“一个数除以分数”。执教的内容是六年级上册第四单元例2（苏教版课标教材）。我的这节课，受到老师们的一致好评——新颖、有深度、有数学味，展现了数学学科的独有魅力。
　　
　　■ 课前慎思——设计“有思维过程”的计算教学
　　 为了了解学生的学习起点，课前我对人大附小六年级7班的学生进行了教学前测，一共收回学生问卷36份：其中17人已经在课外班学过这部分知识，19人没有接触过；题目结果的正确率100%，有35人写出了计算过程，只有1人有1道题是直接写的得数。17个已经学过的同学，方法完全一样，都是把除以一个数写成了乘这个分数的倒数。19个没有学过的学生中，出现了不同的思考方法。主要方法是：通过画图找到答案；把分数化成小数计算；通过推理得出最后结果。
　　 让我感到意外的是，17个已经在课外班学过的孩子中，竟有12人提出下面的问题：
　　 为什么一个数除以一个分数等于乘它的倒数？
　　 当分数除以分数时，哪个分数变成倒数？
　　 为什么除法非得乘另一个数的倒数？
　　 为什么是除以这个数的倒数？
　　 为什么一个数除以分数就是一个数乘分数的倒数？
　　 从学生的问题可以看出，这部分学生仅仅是记住了一个数除以分数的计算法则，而没有真正理解为什么要这样计算。学生即使在课外班学习过，也只是关注了“结果”，而忽视了“过程”。
　　基于以上分析，我把算理的理解作为本课教学的着力点，努力设计“有过程”的计算教学。我确定了本节课教学目标：
　　 ●借助操作和直观模型经历探索整数除以分数计算方法的探究过程，理解并掌握整数除以分数的计算方法，正确计算整数除以分数；
　　●在探索整数除以分数计算方法的过程中，进一步体会猜想、验证的数学思想方法；
　　 ●沟通新旧知识的内在联系，进一步感受数学学习的挑战性，体验成功的乐趣，增强学好数学的自信心。
　　
　　■ 课中掠影——数学是思维的体操
　　 因为是借班上课，为了活跃课堂气氛，拉近师生的心理距离，课前我播放了春晚刘谦魔术表演的片断（硬币穿玻璃），激发学生学习兴趣，为新课学习提供素材。看过后，请学生大胆猜想：刘谦是怎样让硬币穿过玻璃的。学生的答案五花八门，极富想象力。最后教师揭秘：“刘谦用的是蝴蝶币！”教师出示蝴蝶币，帮助学生认识蝴蝶币的结构，为下面提出数学问题做好素材上的准备。
　　师生从刘谦魔术中的蝴蝶币谈起，研究整数乘、除法知识，为学习例2积累活动经验。
　　 教师用课件出示（桌面上放12个单币），提问：如果老师一拍玻璃，你们猜桌面上会出现几个组合币。
　　 学生回答后，教师结合课件演示，体现“二合一”的过程。
　　 教师提问：刚才的思考过程，用算式怎样表示？（12÷2=6）
　　 教师用课件出示（桌面上有5个组合币），提问：如果老师一拍玻璃，要出现5个组合币，你们猜桌面上应该放几个单币。
　　学生回答后教师课件演示，体现“一对二”的过程。
　　 教师提问：刚才的思考过程，用算式怎样表示？（2×5=10）
　　【设计意图】通过有趣的蝴蝶币游戏，结合“二合一”的演示复习整数除法的知识，结合“一对二”的演示复习整数乘法的知识。
　　1．教师出示例题2
　　幼儿园李老师把4个同样大的橙子分给小朋友。
　　●每人吃2个，可以分给几人？每人吃1个，可以分给几个人？
　　●每人吃半个（教师用半个橙子的图片表示），可以分给几个人？
　　（学生自己独立思考，可以画图表示结果，也可以列式表示结果。）
　　【设计意图】儿童的生活经验是理解算理的基础，教师不急于呈现算理知识，而是充分利用学生“一半”的生活经验，引导学生自主探究，画图是一种非常好的教学策略，借助图形语言，学生可以把自己的想法直观地展示出来，让教师看到学生真实的思考过程。
　　 2.教师把橙子的个数改成“40个”、“400个”、“4000个”，让学生回答，每人吃半个，可以分给几个人
　　【设计意图】由“4个”变成“40个”、“400个”、“4000个”，在学生的脑子里“乘2”的思路已初步形成。
　　结合课件演示（教师把4个橙子一分为二），直观看出计算结果是8人。
　　教师引导学生进一步思考：还有什么办法可以推出：4÷■=8。
　　学生回答后，教师课件演示：把分数化成小数计算，根据等式的性质推出答案。
　　【设计意图】激活学生的已有知识，引导学生把没有学过的问题转化成已经学过的问题解决，在算法的探究中掌握解决问题的一些基本策略。
　　结合课件演示，从不同视角研究得出计算结果的过程：“一个一个”地数如何得到8人；“一组一组”地数，如何得到8人。进而得到等式：4÷■= 4×2。
　　【设计意图】经验是一种过程性知识，是在实践活动中所形成的一种“活动图式”。同样是“8人”，但得到这个结果却有不同的路径：可以由直观演示看出结果；可以把分数化成小数计算出结果；可以根据分数的基本性质推出结果；还可以“一个一个”数出结果、“一组一组”数出结果。结合操作和图形语言，引导学生探索、理解计算方法，直接服务于算理的理解和掌握。在此过程中，教师引导学生利用已有的知识解决问题，让学生感受和体验解决问题策略的多样化。
　　 3.利用“分数墙”帮助学生理解“4÷■= 4×2”
　　分数墙：
　　教师分两步引导学生思考：
　　 第一步，“一个一个”数，结合课件演示，数出4里面一共有8个■；
　　 第二步，“一组一组”数，1里面有2个■，2里面有4个■，3里面有6个■，4里面有8个■。一共是“4个2”，列式是4×2。
　　 引导学生得出：4÷■= 4×2。
　　【设计意图】数形结合思想是根据问题的具体情况，把具有直观形式的图形性质的问题转化为具有算法性质的数量关系问题，从而使抽象思维和形象思维结合起来。“分数墙”是一种非常好数学模型，通过分数单位的个数，引导学生数形结合，用图形语言描述运算过程，帮助学生直观理解四则运算的算理，教学中老师组织学生进行“圈一圈”的活动，“几个几”的图像便跃然纸上，有利于学生表象的建立，使问题的数量关系更易于理解，使抽象的算理具体化。
　　 4．利用“等式的性质”推导“4÷■= 4×2”
　　【设计意图】利用等式的性质推出4÷■= 4×2。学生掌握了这种思考方法，那么接下来的分数除以分数，便很容易推导出等于乘分数的倒数。
　　5.进一步研究算式中的数，结合“4÷■= 4×2”，引导学生思考：与2有什么关系
　　（学生初步提出猜想：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。）
　　【设计意图】教师重视引导学生从已有的知识和经验出发，建立“合理猜想”，然后加以验证，对于培养学生的直觉思维、形成科学严谨的学习态度和良好的思维习惯是非常必要的。
　　6.出示下面两组题目
　　 ●利用“分数墙”理解“4÷■= 4×3”和“4÷■= 4×4”。
　　 ●利用“等式的性质”自己推出“4÷■= 4×3”和“4÷■= 4×4”。
　　 思考：什么变了？什么没变？你发现什么规律？
　　 （学生很容易发现：被除数不变，除号变乘号，除数变成它的倒数。）
　　 引导学生在前面猜想的基础上得出结论：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。
　　
　　【设计意图】要使学生会计算，必须使他们明确怎样计算，也就是要加强法则及算理的理解。为了落实“四基”的培养目标，使学生受到数学思想方法的熏陶，经历“提出猜想—验证猜想—得出结论”的学习过程，教师放慢教学的节奏，引导学生充分经历算法的探究过程，让学生自己发现一个数除以分数的计算方法。
　　
　　■ 课后反思——构建有“深度”的数学课堂
　　 本节内容是在学生掌握了分数乘法和分数除以整数的计算方法基础上继续探索一个数除以分数的计算方法。分数除法计算方法的探索与理解，历来是教学的一个难点。我处理这个问题的方法是让学生多看一些简单的例子，在具体例子的学习中逐渐感悟到“除以一个分数等于乘这个分数的倒数”。本节课看起来内容很简单，但并没有进行简单处理。蝴蝶币的分与合、橙子个数由少到多的变化、从“一个一个数”到“一组一组数”、分数墙的巧妙使用、等式性质的适当介入等，教师把教学的着力点放在了“理解、经历、体验、探索”上，用思维方法的分析带动具体数学知识内容的教学，从而真正做到“教活”、“教懂”、“教深”，使本节课显得既有数学味又有深度。
　　 何谓有“深度”的课堂？“深度”课堂不是“难度”课堂，深度课堂应该是对常态课的一种超越。
　　 “深度”课堂一定是有内涵的课堂——有内涵的课堂应该是“用教材教”，而不是简单地“教教材”；有内涵的课堂，教师能够依据课程标准的要求，依据学生的具体情况，依据教师自身的教学特长，把教材用好、用活，通过自己的“二度开发”把枯燥的知识加工成“既好吃又有营养”的知识大餐。
　　“深度”课堂一定是有冲突的课堂——有冲突的课堂教师会依据教材内容，抓住儿童好奇心强的心理特点，精心设疑、巧设悬念，使学生处于一种“心求通而未达，口欲言而未能”的不平衡状态，以引起学生的探索欲望。
　　“深度”课堂一定是有活力的课堂——学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交往互动的舞台。有活力的课堂，一定会建立师生多方位的信息交流系统，使交流—反馈—矫正贯穿于教学全过程；有活力的课堂，教师不应过分追求“统一化”和“最佳化”，而是致力于“多样化”、“合理化”，以使学生对知识的真正理解和个性化发展成为可能。
　　“深度”课堂一定是有后劲的课堂——有后劲的课堂，教师一定会改善学生的学习方式，给学生提供积极思考、充分参与的空间，一定让学生经历知识的形成过程，一定不直接向学生吐露自己的“谜底”，而尽量创设问题情境，让学生自己去得出结论；有后劲的课堂，教师一定关注学生的自主学习、探究学习和合作学习；有后劲的课堂，一定关注学生的个别差异，培养学生的问题意识；有后劲的课堂，教师一定在“教知识”的同时更注重“教方法”、“教思想”；有后劲的课堂，教师一定关注教学中“三维目标”的落实，关注学生“大智慧”的培养。■
　　□编辑 王宇华