定数截尾缺失数据下Weibull分布的形状参数近似估计

田霆，刘次华

（1.华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021；2.华中科技大学 数学与统计学院，湖北 武汉 430074）

定数截尾缺失数据下Weibull分布的形状参数近似估计

田霆1，刘次华2

（1.华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021；2.华中科技大学 数学与统计学院，湖北 武汉 430074）

研究定数截尾寿命试验数据缺失场合下，Weibull分布中形状参数的点估计问题.利用次序统计量的方法给出形状参数的近似估计，并通过大量的Monte－Carlo数值模拟试验，验证方法的可行性.

Weibull分布；定数截尾；数据缺失；形状参数；极小值分布；次序统计量

1 预备知识

在用统计方法处理实际问题时，常会遇到数据缺失问题，如产品寿命试验中由于试验设备、观测手段或有其他方面的困难，造成某些试验数据丢失或未观测到等现象.因此，对不完全数据的处理是统计分析的一个重要领域.在可靠性寿命试验中，Weibull分布是最常用的寿命分布之一，其分布函数为

式（1）中：m为形状参数，η为刻度参数.

若由于某种原因造成数据丢失，不妨设剩下的数据为

其中：｛r1，r2，…rk｝⊂｛1，2，…，r｝，则

服从标准极小值分布.

对于试验数据（3）的统计分析，己有一些文献作了相关的研究［1-3］.文献［1］给出了 Weibull分布及极值分布的参数的点估计及区间估计；文献［2］给出了定数截尾数据缺失场合下指数分布参数的Bayes估计；文献［3］给出了定时截尾缺失数据下指数分布的统计推断.文中试图利用次序统计量的方法［4］给出形状参数的一种近似点估计，通过大量的Nonte－Carlo模拟试验说明所给方法的可行性.

2 形状参数m的一种点估计

Murthy等［4］从n个失效样本中两个次序统计量出发，提出了m＊＝1／m的无偏估计.根据次序统计量的选择准则，在估计量的方差达到最小的条件下，渐近率为70%左右，在Weibull分布的刻度参数未知时，进行了m的假设检验.

易知Y的分布与未知参数m无关，其为一枢轴量.

3 Y的近似分布

故由式（6）及引理1的结果可知，Y的近似分布是由k－l个参数不同的指数分布的和的分布.

4 m＊的无偏估计的构造

为了充分利用缺失后信息及以上结果，从数据（3）出发，导出m的估计.对于数据（3），记

5 Monte-Carlo模拟实验

为确定参数估计的精度，设η＝1.0，利用式（6）对m 的真值m＝1.0，0.5，0.25进行2 000次的Monte－Carlo模拟实验，部分模拟结果如表1所示.从表1中可以看到：当n固定时，随着k的增大，精度愈高；而当k很小即缺失数太大时，参数估计误差偏大，故应尽量避免数据缺失 .总的来说，在缺失数据数目不太大的情况下，参数估计的精度还是令人满意的.

表1 Monte－Carlo模拟实验部分结果Tab.1 Part of the Monte－Carlo simulation results

［1］FEI H，KONG F，TANG Y.Estimation for two－parameter Weibull distribution and extreme－value distribution under multiple type-Ⅱ censoring［J］.Comm Statist Theory and Meth，1995，24：2087－2104.

［2］王乃生，王玲玲.定数截尾数据缺失场合下指数分布参数的Bayes估计［J］.应用概率统计，2001，8（3）：229－235.

［3］田霆，刘次华.定时截尾缺失数据下指数分布的统计推断［J］.华侨大学学报：自然科学版，2006，27（1）：20－23.

［4］MURTHY V K，SWARTZ G B.Estimation of Weibull parameters from two－order statisticals［R］.Ohio：Wright－Patterson Air Force Base，1974.

［5］曹晋华，程侃.可靠性数字引论［M］.北京：科学出版社，1986.

Approximate Estimation for the Shape Parameter of Weibull Distribution under Multiply Type-ⅡCensoring

TIAN Ting1，LIU Ci－hua2
（1.School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China；2.School of Mathematics and Statistics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China）

In this paper，we study the point estimation for the shape parameter of Weibull distribution under multiply type-Ⅱcensoring.The approximate point estimation of unknown parameter is obtained by using the method of order statistics.By the Monte－Carlo simulation，the precision for the parameter estimation under a large amount of samples is satisfied.

Weibull distribution；multiply type-Ⅱcensoring；missing date；shape parameter；minimum value distribution；order statistics

陈志贤 英文审校：张金顺，黄心中）

O 213.2

A

1000－5013（2012）02－0232－03

2011－09－19

田霆（1972－），男，讲师，主要从事产品可靠性的研究.E－mail：tianting1972928＠sohu.com.

福建省自然科学基金资助项目（Z0511027）