随机环境中d维随机游动的强大数定律

郭银雷，王文胜，林敏莹

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

随机环境中d维随机游动的强大数定律

郭银雷，王文胜，林敏莹

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

研究了随机环境中d维随机游动的极限理论，在一定条件下证明了随机环境中d维随机游动的强大数定律，并且给出了一个等价形式的随机环境中随机游动的强大数定律.

强大数定律；随机游动；随机环境

0 引 言

设X＝｛Xi：i≥1｝是取值于Zd，d≥1的相互独立同分布（i.i.d.）的随机向量，Y＝｛Y（x）：x∈Zd｝取值于R的i.i.d.的随机变量序列，设序列X与Y是定义在相同概率空间上的，但是生成相互独立的σ－域.

Kesten等［1］研究了一维RWRS，他们设X和Y的稳定律分别为1＜α≤2和0＜β≤2的吸引区域内，得到了具有平稳增量的、非高斯的、自相似过程Gn的极限.Wang研究了在特殊集合中的RWRS弱收敛性［2］，并给出了几个随机环境中一维随机游动的强大数定律［3］.还有一些文章研究了RWRS的增长速度即随机环境中随机游动的重对数律：Lewis［4］研究了随机环境中d维随机游动自正规化的重对数律；Lewis［5］证明了确定性正规化子的随机环境中d维随机游动的重对数律；Khoshnevisan等［6］研究了随机环境中一维Stable过程的重对数律，证明了γ的存在性；Chen Xia研究了可加Lévy过程局部时的大偏差和中等偏差以及重对数率［7－8］.本文主要采用［3］中的方法，证明随机环境中d维随机游动的强大数定律.

这里的｜·｜表示欧几里得范数（Euclidean norm）.则本文的主要结论是随机环境中d维随机游动的强大数定律.

1 定理1的证明

2 另一个结论

假设I对随机游动的约束条件并不是非常严格的限制.以下讨论另一种满足假设I的序列.

这里0≤ρ＜1，φ（·）趋向于＋∞的慢变函数，即：φ（·）是一个正的可测函数，并且对任意的0＜C＜∞满足：

注1 由定理2得，如果S是一个简单对称的d－维随机游动，Y是一个i.i.d.的随机变量的集合，并且满足E［｜Y（0）｜］＜∞，则n→∞时，G（n）/n→E［｜Y（0）｜］ a.s..

由此就验证了假设I，从而定理2的结论成立.

［1］Kesten H，Spitzer F.A limit theorem related to a new class of self－similar processes［J］.Z Wahr verw Geb，1979，50：5－25.

［2］Wang Wensheng.Weak convergence to fractional Brownain motion in Brownian motion［J］.Probab Th Their Fields，2003，126：203－220.

［3］Wang Wensheng.Strong laws of large numbers for random walks in random sceneries［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2007，23（3）：495－500.

［4］Lewis T M.A self－normalized law of the iterated logarithm for random walk in random scenery［J］.Theor Prob，1992，5（4）：629－659.

［5］Lewis T M.A law of the iterated logarithm for random walk in random scenery with deterministic normalizers［J］.Theor Prob，1993，6（2）：209－230.

［6］Khoshnevisan D，Lewis T M.A law of the iterated logarithm for stable processes in random scenery［J］.Stoch Process Appl，1998，74（1）：89－121.

［7］Chen Xia.Large deviations and laws of the iterated logarithm for the local times of additive stable processes［J］.The Annals of Probability，2007，35（2）：602－648.

［8］Chen Xia.Moderate deviations and laws of the iterated logarithm for the local times of additive Lévy processes and additive random walks［J］.The Annals of Probability，2007，35（3）：954－1006.

［9］林正炎，陆传荣，苏中根.概率极限理论基础［M］.北京：高等教育出版社，1999：214－219.

Strong Laws of Large Numbers ford－dimensional Random Walks in Random Sceneries

GUO Yin－lei，WANG Wen－sheng，LIN Min－ying

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

The paper researched on the limit theory ofd－dimensional random walks in random scenery，proved the strong law of large numbers ford－dimensional random walks in random scenery，and provided the strong law of large numbers of random walks with equivalent form in random scenery.

strong law of large numbers；random walk；random scenery

O211.6 MSC2010：60G15；60J65

A

1674－232X（2012）06－0520－04

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.009

2012－06－08

王文胜（1970—），男，教授，主要从事概率极限理论和金融数学研究.E－mail：wswang＠yaboo.cn