一个软链问题的受力情况分析

任海林 谭伟石 徐 浦

（1南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094）

（2南京理工大学理学院，江苏 南京 210094）

一个软链问题的受力情况分析

任海林1谭伟石2徐 浦2

（1南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094）

（2南京理工大学理学院，江苏 南京 210094）

对软链在桌面滑落的问题进行了详尽的受力情况分析，研究结果表明不能忽略桌角处软链内部的张力变化.

软链问题；受力情况分析；摩擦因数

1 问题的提出

在一些大学物理教材和习题指导书中［1，2］，通常安排了一道关于软链的习题：如图1（a）所示，一质量均匀分布的链条，总长度为L，线密度为λ，与水平桌面的摩擦因数为μ，其中有长度为a的部分垂在桌面外，松手后使它由静止在重力作用下下落.求软链下垂长度为x时软链的速度大小.

图1

通常利用牛顿第二定律来求解这道题.建立如图1（b）所示的坐标系.将软链分成桌面部分和下垂部分，对这两个部分进行受力情况的分析，列出牛顿第二定律方程.设x为某时刻软链下垂在桌面外的长度，分别列出竖直方向和水平方向的牛顿第二定律方程：

这时我们默认在任意时刻总有T1＝T2，将以上两式相加，我们得到

从而得到软链下垂部分长度为x时软链的速度大小为

以上是通常的解法.但是，在实际情况下，桌角处软链内的张力T1＝T2的条件成立吗？我们先来仔细分析桌角处软链的受力情况，然后再来回答这个问题.

2 桌角处软链的受力情况分析

假设有一段长为L的质量线密度为λ（λ为常量）的不可伸长的软链，把桌角看成一个半径为R的1/4圆弧，桌子表面摩擦因数为μ1，桌角处的摩擦因数为μ2.在某一时刻，软链下落速度大小为v（这也是软链在水平桌面滑行的速度大小），软链各处的加速度值为a.已通过桌角的部分长为x，且此时软链与桌子仍完全接触.

首先在桌角处建立坐标系，如图2所示，规定θ为分析的软链微元与竖直方向的夹角，T2为水平桌面上的部分软链在θ＝0处受到的力，T1为垂在桌面外的部分软链在处受到的力.由此时的受力分析我们可以得出

图2 桌角处的坐标系示意图

然后我们再对θ处dθ段软链进行受力分析，如图3所示，我们可以得到软链微元的运动方向（τ方向）和垂直运动方向（n方向）的两个分量方程

图3 θ处dθ段软链受力分析

我们将式（8）和式（9）化简可以得出

由式（10），式（11），式（12）可以得出dT 的表达式

由式（14），可以知道T应该具有如下形式

此时T的表达式中有一个积分常数C.当θ＝0时，T值等于T2；当时，T值等于T1.即

现在我们求积分常数C及加速度a的表达式.将式（18）和式（19）代入式（6）和式（7）得

根据线性代数的知识可以得出

由此可以看出加速度值a和积分常数C均与摩擦因数μ1和μ2、软链速度v、软链下垂长度x有关，而且我们能够根据式（20）和式（21）求出任意时刻，桌角处任意位置软链内的张力大小.

当质量线密度为λ的软链绕过半径为R的桌角时，由式（18）和式（19）给出，图2所示的T1和T2的差值为

显然，这个差值是不等于零的.换一句话说，在本文开头列出来的关于这个软链问题的通常解法中，认为在桌角处软链内的张力T1＝T2是不合理的.

那么，在什么情况下可以认为T1＝T2呢？从式（22）可以看出，ΔT为零的条件是μ2＝0，R＝0，也就是桌角的摩擦因数为零，而且桌角为理想的直角（也就是半径R趋向于零）.只有在这两个条件同时满足的情况下，本文开头列出的通常解法才是正确的.否则，必须考虑到桌角处软链内张力的变化.

3 结论

对软链在水平桌面滑落的问题进行了详尽的受力情况分析，研究结果表明，只有当桌角的摩擦因数为零，而且桌角为理想的直角时，桌面上的软链受到的水平张力和竖直下垂的软链受到的竖直张力在数值上才是相等的，否则，必须考虑桌角处软链内部张力的变化.

［1］ 邓开明等.大学物理（上）［M］.北京：机械工业出版社，2005

［2］ 沈慧君，王虎珠.大学物理学习题讨论课指导（第2版）［M］.北京：清华大学出版社，2006

FORCE ANALYSIS ON A SLIDING SOFT CHAIN ALONG THE TABLE

Ren Hailin1Tan Weishi2Xu Pu2
（1School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，Jiangsu 210094）
（2College of Science，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，Jiangsu 210094）

A detailed force analysis is performed on a sliding soft chain along the table.Results indicate that changes of tension force in the chain around table corner cannot be ignored unless the friction coefficient of table is zero and the corner of table is an ideal right angle.

soft chain；force analysis；friction coefficient

2011－07－11）