平行光入射时劈尖干涉误差的定量分析

王 东 张 清 贾 虎

（安徽工业大学数理学院，安徽 马鞍山 243002）

平行光入射时劈尖干涉误差的定量分析

王 东 张 清 贾 虎

（安徽工业大学数理学院，安徽 马鞍山 243002）

定量分析了平行光入射空气劈尖和介质劈尖时，干涉条纹严格定域在劈尖上界面处时的条纹间距.数值计算表明对两种劈尖作光线垂直入射垂直反射的近似处理时，空气劈尖的误差较大，但是小于4%.

劈尖干涉；误差；条纹

1 引言

劈尖干涉是一种等厚干涉，在精密测量［1］、光学元件加工［2］、半导体工艺［3］等领域都有广泛的应用.在劈尖干涉的很多应用中，由于劈尖尖角很小，都采用平行光垂直入射垂直反射的近似分析，近似认为劈尖干涉是分振幅干涉，干涉条纹定域在劈尖上表面.文献［4］精确计算表明对平行光入射劈尖时的分振幅干涉，干涉条纹的定域中心位置难以确定，可以在劈尖上下界面附近，也可以在劈尖内部，干涉条纹空间坐标y与x呈复杂的函数关系.文献［5］指出由于入射光具有一定发散角，条纹间距与平行光垂直入射时相比，条纹间距会随膜厚增加而增大，这种干涉实际上与文献［6］中点光源照射时的劈尖干涉相同，是分波前和分振幅相结合的一种干涉，干涉条纹就定域在劈尖的上表面.本文提出了一种劈尖干涉的新情况，即具有一定相干面积和相干长度的平行光入射劈尖时，干涉条纹也可严格定域在劈尖上表面，而且精确计算了平行光垂直入射时这种干涉的条纹间距，并比较了与常用的近似分析的条纹间距的差异.

2 劈尖干涉近似光路分析

如图1所示，平行光由折射率为n1的介质中垂直入射折射率为n的劈尖.在劈尖上表面处入射光线一部分会反射，一部分会折射进入劈尖内部.如果劈尖的尖角很小，可以认为反射光线原路返回，折射光线垂直于劈尖下表面，折射光线经劈尖下表面反射后进入劈尖上表面在入射点与反射光线发生干涉［7］.干涉的光程差为

图1 劈尖干涉近似光路

因此，干涉条纹是等间距的，为

由此可得随着劈尖尖角的增大，条纹间距会变小.

3 劈尖干涉光路精确分析

在劈尖干涉的近似分析中，折射进入劈尖内部的光线没有按折射定律分析，导致分振幅干涉在光线入射点发生，实际上折射光线不可能回到入射点，因此上述近似分析是不够精确的.图2为平行光垂直入射空气劈尖时干涉条纹在劈尖上界面时的精确光路.这种干涉应分两种情况来讨论.第一种情况是：入射光线MD在劈尖上表面D处分振幅，折射光线按照折射和反射定律经过劈尖下表面C点和上表面B点，在P点与反射光线发生干涉，这种干涉是完全的分振幅干涉.第二种情况是干涉条纹严格定域在劈尖表面的情况：入射光线MD折射进入劈尖，经劈尖下表面反射后，在B点与另一束光线NB的反射光线相遇而发生干涉.实际上理想的平行光是不存在的，这里的平行光可由截面积较大的激光束来代替，也可以将普通单色光源（如钠光灯）放在较远的位置，点光源发出的光线在劈尖附近如MD光线和ND光线可近似认为是平行的.所以这种干涉是分波前和分振幅相结合的等厚干涉.本文主要讨论这种情况.

在界面B处干涉的光程差为

假设劈尖的尖角为α，入射光线MD在劈尖上表面处入射角为α，折射角为β.MD的折射光线与劈尖下表面的夹角为γ.β和γ均可由α、n和n1表示.由图2可得

对三角形BDC，应用正弦定理可得

将式（5）和式（6）代入式（4），得干涉的光程差为

可以看出Δ与h成比例，因此干涉条纹是等间距的，条纹间距为

图3为平行光入射玻璃劈尖时干涉的精确光路.从图中可以看出，若当做分振幅干涉，这时干涉条文应定域在劈尖内部Q处.类似上面的分析可得在劈尖上表面处干涉的条纹间距为

4 数值比较

假设入射的平行光为氦氖激光，波长为632.8nm，对图2所示的空气劈尖和图3所示的介质劈尖，按照它们相应的条纹间距式（8）和式（9），可以分别计算在不同劈尖尖角下的条纹间距，再分别与近似式（3）作比较，可得空气劈尖和介质劈尖条纹间距的精确值与近似值的差别随劈尖尖角的变化关系分别如图4和图5所示.

从图4和图5容易看出，两种劈尖条纹间距的精确值与近似值之差都随劈尖尖角增大而增大，空气劈尖的精确值要比近似值小，介质劈尖的精确值要比近似值大.相同劈尖尖角下，空气劈尖用近似公式（3）计算时引入的误差要比介质劈尖大好多.但是即使对于空气劈尖，在劈尖尖角达到0.19rad时，引入的条纹间距误差也只有54nm，为条纹间距1.675μm的3.2%.

5 总结

本文采用具有一定相干面积的平行光做劈尖干涉，得出了干涉条纹严格在劈尖上界面时，空气劈尖和玻璃劈尖条纹间距的表达式，结果表明干涉条纹也是等间距的.而且数值比较了精确计算与作光线垂直入射垂直反射时的近似分析的差别，结果表明空气劈尖作近似分析时误差比介质劈尖更大一些.本文的干涉方案避免了做分振幅干涉时条纹位置难以精确定位的问题，希望能够在半导体器件设计中测定膜层厚度，标定光波长［8］等精密测量中得到应用.

［1］ 程玉宝，周慧鑫，刘上乾.一种激光探测与波长测定装置的研究［J］.光电工程，2002，29（6）：25～27

［2］ 申仁智.空气劈膜干涉条纹间距变化的判断及其应用［J］.物理教学探讨，2003，21（9）：20～21

［3］ Huo Fengwei，Kang Renke，Guo Dongming，Zhao Fuling，and Jin Zhuji.An Improved Angle Polishing Method for Measuring Subsurface Damage in Silicon Wafers.半导体学报，2006，27（3）：506～510

［4］ 刘金龙.劈尖干涉条纹定域的解析研究［J］.物理与工程，2008，18（4）：54～57

［5］ 刘香茹.劈尖等厚干涉实验条纹不等间距的分析［J］.洛阳工学院学报，2000，21（3）：87～89

［6］ 赵凯华.光学（上册）［M］.北京：北京大学出版社，1999.284～291

［7］ 马文蔚.物理学教程.下册［M］.2版.北京：高等教育出版社，2006.194～198

［8］ 吴海波，杨仕广，程玉宝，焦 洋.一种基于劈尖干涉的激光波长测量装置的研究［J］.激光与红外，2009，39（8）：872～875

QUANTITATIVE ERROR ANALYSIS OF WEDGE INTERFERENCE WITH PARALLEL INCIDENT BEAM

Wang Dong Zhang Qing Jia Hu
（School of Mathematics and Physics，Anhui University of Technology，Ma'anshan，Anhui 243002）

The distance for two adjacent interference fringes in wedge stricken by parallel light is quantitatively analyzed for two kinds of wedges without the approximate treatment，in which the vertical light is reflected vertically.Numerical computation indicates the error for an air wedge is bigger than that for a glass wedge，but the error is still smaller than 4%.

wedge interference；error；fringe

2011－06－06；

2011－09－13）

王东（1980年出生），男，山西忻州人，讲师，博士，主要从事量子光学与激光技术的研究及基础物理的教学工作.