反射定律矢量形式在LED照明设计中的应用

朱焯炜 苏宙平 解希顺

（1江南大学，江苏 无锡 214122；2东南大学，江苏 南京 211189）

反射定律矢量形式在LED照明设计中的应用

朱焯炜1苏宙平1解希顺2

（1江南大学，江苏 无锡 214122；2东南大学，江苏 南京 211189）

为了实现目标平面的均匀照明，根据反射定律的矢量形式构建光线追踪关系，利用能量守恒定律得到关于照明系统的常微分方程，根据初始条件通过数值求解即可得到自由曲面照明系统的面型结构.

光学设计；均匀照明；反射定律；矢量

反射定律的发现年代久远，其传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角等于反射角.但反射定律的传统表达未强调法线的方向性，不易反映光线在三维空间的传播规律，于是又演化产生了矢量形式的反射定律.本文介绍利用反射定律矢量形式来构建一种自由曲面透镜，LED光源通过该透镜来实现圆形目标照明面的均匀照明.

1 反射定律矢量形式

设入射光线入射到空间自由曲面表面的A点上，入射方向单位矢量表示为In，经该点反射之后的出射光线方向单位矢量为Out，曲面点A处的法向矢量为N.In、Out以及N三者满足反射定律的矢量形式，表示如下［1］

2 应用举例

LED作为一种绿色光源，具有许多优点.例如电光效率高、寿命长、体积小等.正是由于上述的优点，最近几年LED在照明领域的应用有很大的发展.像路灯照明、投影仪、室内照明等.但是LED芯片本身是一个近似的朗伯光源，光强随着发光角呈现余弦分布，这种光源很难满足各种照明要求［2］.因此需要根据特殊的照明要求设计光学系统，对LED发出的光进行整形，改变其光强分布.本实例的目的是设计一种自由曲面反光杯实现圆形目标照明面均匀照明.

图1 反光杯和光线的几何关系示意图

反光杯和光线的几何关系示意图，如图1所示.原点O处放置LED光源，LED发出的某一条光线射到反光杯A点，经过该点反射到目标平面B点.自由曲面反光杯采用旋转对称结构，采用x－z二维坐标下的光线追迹方法即可计算获得反光杯的侧面轮廓线.至此，光学基本物理模型就已经建立.

如果A点坐标为（x，0，z），接收平面上的点B的坐标为（xd，0，H），可以得到如下公式

将式（2）代入式（1），可以得到

光线的传播必须遵守能量守恒定律，即光源的输出光通量应等于入射目标面内的能量.设光源的发光半角为φ，则光源的辐射能与目标面照明之间的关系如下式［3］

式中，E（t）为目标平面上任意点t处的照度；I（φ）为φ方向的光强；S为照明面积.考虑到LED的朗伯发光特性［4］，并且旋转对称，有

式中，I0为LED沿轴线方向的光强.将式（5）代入式（4），解得

其中，φmax为LED一次配光出射最大半角；R为圆形照明面的半径.在半径为xd，出光角为φ的区域内的光通分布式可参照式（6）写出下式

联立式（6）和式（7）得

将式（8）代入式（3），可以看出为一个显式常微分方程.给出一定的初始条件，例如当x＝0时，z＝1.根据实际照明要求给出H、R、φmax参数.采用数值解法，例如四阶龙格库塔法、有限差分法等用Mathematica编程可得到该方程的数值解［5］.将计算数据导入建模软件中旋转该曲线可得到所需透镜面型.

3 小结

本文根据实际照明要求，构建了照明光源、反光杯、目标平面三者的光线追踪关系，利用反射定律矢量形式和能量守恒定律进行了LED照明的光学设计，介绍了实现特定目标区域均匀照明的方法.由于篇幅的关系，本文只是介绍了一种实现均匀照明的设计思想，没有将计算结果放入光学设计软件（如Tracepro软件）中进行验证.另外，折射定律矢量形式也有类似的应用，本文就不进一步展开叙述了.

［1］ 李澄，李农.一种用于均匀照明的LED透镜设计方法［J］.照明工程学报，2010，（6）：46～49

［2］ 罗毅，张贤鹏等.半导体照明中的非成像光学及其应用［J］.中国激光，2008，（7）：963～968

［3］ 丁毅，顾培夫.实现均匀照明的自由曲面反射器［J］.光学学报，2007，（3）：540～544

［4］ 丁毅，郑臻荣，顾培夫.实现LED照明的自由曲面透镜设计［J］.光子学报，2009，（6）：1486～1489

［5］ 陈维桓.微分几何初步［M］.北京：北京大学出版社，1990.101～109

APPLICATION OF VECTOR FORM OF REFLECTION LAW IN LED LIGHTING DESIGN

Zhu Zhuowei1Su Zhouping1Xie Xishun2
（1Jiangnan University，Wuxi，Jiangsu 214122）
（2Southeast University，Nanjing，Jiangsu 211189）

In order to realize uniform illumination for the target plane，the light tracing relationship is established according to the vector form of reflection law，and the ordinary differential equations about lighting system is obtained from the law of energy conservation.According to initial condition，the surface structure of free－form surface lighting system can be gotten by numerical solution.

optical design；uniform illumination；reflection law；vector

2011－08－16；

2011－11－02）

朱焯炜（1981年出生），男，工程师，硕士，主要从事激光的传输与变换研究.