横切透视椭圆柱投影在高斯投影教学中的应用

过家春

(安徽农业大学理学院，安徽合肥230036)

一、引 言

文献［1］首先指出有些测量和制图书籍中把高斯-克吕格投影(以下简称高斯投影)与横切透视圆柱投影(以下简称横透投影)混为一谈，有些测绘工作者也有这方面的模糊认识。为此，文献［1］详细论述了高斯投影的推导过程，并推导了横透投影的公式，且对两种投影的异同进行了比较。稍有不足的是，该文首先将高斯投影的公式简化成球体模型下的近似形式，然后在将地球视为球体的条件下推导出横透投影的公式，并与高斯投影进行对比分析，因此高斯投影与横透投影的本质区别没有能够完全体现出来。

尽管横透投影实用性意义不大［1］，但事实上地图投影的概念起源于几何透视投影［2-3］，各种有关地图投影的学术著作在论述高斯投影、横轴墨卡托投影(UTM投影)等投影时，也经常以透视投影为引例，以建立对地图投影的感性认识［2，4］。由于高斯投影是按一定的投影条件、采用数学分析方法建立起来的条件投影，而非几何透视投影［5-6］，对于初学者十分抽象难懂。所以，在高斯投影的教学工作中，常用横透投影来做形象比喻，以帮助初学者理解高斯投影，改善教学效果。但高斯投影与横透投影是完全不同的两种投影。

本文在文献［1］的基础上，基于旋转椭球模型，推导出横透投影的公式，并与高斯投影进行分析比较，以资参考。

二、横切透视椭圆柱投影的公式推导

如图1所示，假想一个椭圆柱横套在地球椭球外面(旋转椭球，记其长半轴为a，短半轴为b，第一偏心率，并与某一经度为L0的子午线相切。类似于高斯投影，称其为横透投影的中央子午线。现假定椭球球心o有一点光源(即设椭球球心为视点)，点光源发射直线光束，将中央子午线东西两侧一定经差范围内的地区透射到椭圆柱面上。然后再沿过极点的母线将椭圆柱面展开成平面，建立如图1所示的平面直角坐标系O－XY，即得横透投影。

图1 横切透视椭圆柱投影

设图1中P点为距中央子午线一定经差范围内地球椭球上任意一点，其大地经度为L，距中央子午线经差为l=L－L0;大地纬度为B，对应的地心纬度为Φ，二者之间的关系为

以地球椭球的球心o为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系o－xyz，则由椭圆柱及直线oP的方程构成方程组

由式(1)及式(2)，可得P点在椭圆柱上的投影P'点的空间直角坐标

过P'点作中央子午线NOS的垂线，垂足为P0。类似于高斯投影，称P0点大地纬度B0为P'点的底点纬度，对应的地心纬度为Φ0。由图1所示关系有

顾及式(1)，则得

设P点的投影P'点的平面直角坐标为( XP'，YP')，根据以上分析有

式(6)即为旋转椭球模型下的横透投影公式。

三、横切透视椭圆柱投影与高斯-克吕格投影的对比分析

以克拉索夫斯基椭球参数为例，按式(6)计算3°分带的横透投影坐标值，绘制投影后的经纬网，并与高斯投影作比较，结果如表1及图2所示。

图2 高斯投影与横透投影的经纬网形状

比较横透投影与高斯投影的坐标差值及经纬网形状，可见横透投影的长度变形特征与高斯投影类似，中央子午线和赤道投影后均为直线，且相互垂直，除中央子午线外，投影长度比均大于1，投影后的经纬网形状十分接近。但表1显示，横透投影的纵坐标值比高斯投影略小，横坐标值比高斯投影偏大。可以证明，横透投影为任意投影，其长度、角度及面积均有变形。

表1 横透投影与高斯投影坐标差值表

四、结束语

综合以上分析可知，横透投影是一种按几何透视原理建立起来的简单投影，几部满足等角投影条件，也不满足等距条件，在测绘科学领域实用性不大。但在高斯投影的教学过程中，尤其是对于非测绘类专业学生的教学，笔者常引导学生思考横透投影的建立过程，以建立起对地图投影的感性认识。实践证明这有利于加深初学者对高斯投影的理解，也激发了学生的学习兴趣。

［1］王政梅.高斯-克吕格投影与横切圆柱透视投影的比较［J］.测绘通报，2002(3)：11-12.

［2］祝国瑞.地图学［M］.武汉：武汉大学出版社，2004：36-37.

［3］SNYDER JP.Map Projections—A Working Manual［M］.USGPO：［s.n.］，1987：1-4.

［4］吴忠性.地图投影［M］.北京：测绘出版社，1978：80-81.

［5］孔祥元，梅是义.控制测量学(下册)［M］.武汉：武汉测绘科技大学出版社，1998：38-53.