应用型本科《线性代数》与matlab教学改革
2012-12-08刘忠志
刘忠志
（广东白云学院 基础教学部，广东 广州 510450）
应用型本科《线性代数》与matlab教学改革
刘忠志
（广东白云学院 基础教学部，广东 广州 510450）
本文根据应用型本科的特点和《线性代数》教学实践，运用数学软件“matlab”解决《线性代数》中的计算问题，实行笔算与电脑算相结合的教学改革与探讨，取得较好的教学效果，深受学生欢迎。
应用型本科；线性代数教学；“matlab”计算；教学改革
Matlab是数学计算软件，功能非常强大，随着科学技术的不断发展，笔算与电脑算相结合是未来发展的必然趋势，光用笔算不行，光用电脑算也不行，为什么呢？因为有些数学模型，用笔算很难算出，有的几乎不可能。但用电脑算（数学软件）很容易算出结果，来得快。但不能全依赖于电脑，基本计算方法、必要的简单的笔算能力是要掌握的，有些简单的问题用笔算还快一点，再则电脑算有它的局限性，它是死算，是机器算，不是人算，过份使用它会失去数学的一个重要作用：即逻辑思维能力的培养。例如：现在经商的、或上街买菜算数都用计算器，很少用笔算，难道叫小学生不要学笔算加、减、乘、除了吗？，专学用计算器来算，那就麻烦了，将成为机器的奴隶，影响智力的开发。所以只有笔算和电脑算“两算”相结合、互相弥补才是最佳途径。
学过线性代数的人都知道,线性代数的特点是计算量大,单独用笔算是很麻烦的,特别在实际应用中，更为突出，例如：
案例：某食品厂收到某种食品订单，要求这种食品由甲、乙、丙、丁四种原料做成，且该食品中含蛋白质、脂肪和碳水化合物的比例分别为15%、5%和12%，而甲、乙、丙、丁四种原料中含蛋白质、脂肪和碳水化合物的百分比由下表给出，这四种原料各用多少才配置出满足要求的食品？
?
解：设甲、乙、丙、丁占食品的百分比分别为x1、x2、x3、x4
上面方程若用笔算来解，比较麻烦，但用matlab 解只用两分钟（电脑输入过程）就可以解出
具体过程如下:
>>A=[1 1 1 1 1;20 16 10 15 15;3 8 2 5 5;10 25 20 5 12]
>>rref(A) 回车得：
ans = 1.0000 0 0 0 0.1031
0 1.0000 0 0 0.2147
0 0 1.0000 0 0.1460
0 0 0 1.0000 0.5362
注：A是增广矩阵，rref(A)是计算命令，ans是计算结果：第一、二、三、四列分别表示x1、x2、x3、x4的位置，最后一列分别是x1、x2、x3、x4的得数。
用matlab解决数学问题是死算，只知其算，不知其理，所以笔算方法要给学生讲清楚。
线性代数中的计算主要有：行列式的计算、矩阵的运算、解线性方程组、求特征值特征向量、矩阵的正交化，化标准二次型等等，每一个问题都是比较复杂的计算，用笔算是很繁琐的，我们的教学方法模式如下：
案例→基本知识传授→使用数学软件matlab→应用（祥见文[1]）
1、行列式的计算：先引进实用案例，然后介绍行列式的基本知识（定义、性质等），再讲解二阶、三阶、简单四阶行列式的笔算方法，对于一般四阶或四阶以上行列式的计算用电脑matlab软件来计算，但是对于一般的n阶行列式用电脑不一定能算出结果，应采用笔算方法，因为n阶行列式计算可以训练大脑思维能力，培养发现规律的能力。
解法二（电脑算）：
>>A=[2 -5 1 2;-3 7 -1 4;5 -9 2 7;4 -6 1 2];
>>det(A) 回车得：
ans = -9
提问学生：哪种方法好？百分之百的学生赞同电脑算好，但笔算的道理还是要给学生讲清楚。
2、矩阵的运算：教学方法同上，特别指出的是，矩阵的乘法、矩阵的乘方和求逆矩阵主要以电脑计算为主，三阶或三阶以下矩阵的乘法、乘方（乘方三次以下）运算用笔算，
案例：某城市的总人口是固定的,开始时有30%的居民住在市区,70%的住在郊区.由于搬迁变化,每年有6%的市区居民搬到郊区去住,而有2%的郊区居民搬到市区来住.问10年后市区和郊区的居民人口的比例是多少? 30年、50年、60年呢？
>>A=[0.94 0.02;0.06 0.98];
>> x0=[0.3 0.7]'; x10=A^10*x0, x50=A^50*x0，x60=A^60*x0 回车得：
所以10年后市区和郊区的居民人口的比例是0.2717:0.7283;
30年后市区和郊区的居民人口的比例是0.2541:0.7459;
50年后市区和郊区的居民人口的比例是0.2508:0.7492。
60年后市区和郊区的居民人口的比例是0.2503:0.7497。
案例教学主要突出应用。
3、逆矩阵的教学方法：首先介绍逆矩阵的定义、性质、笔算求逆矩阵方法：
以及给学生讲清楚为什么这样求逆矩阵的道理之后，举例如下：
解法一（笔算）:
解法二（电脑算）：
>> A=[1 2 3;2 1 2;1 3 4];
>> A^(-1) 回车得：
ans = -2.0000 1.0000 1.0000
-6.0000 1.0000 4.0000
5.0000 -1.0000 -3.0000
提问学生：哪种方法好？百分之百的学生赞同电脑算好。
这样使学生既懂得了用笔算求逆矩阵方法，也懂得了用电脑求逆矩阵的方法，供学生选择最佳方法。
4、解线性方程组（以解齐次线性方程组为例，非齐方程组前面已有例）：
（x3,x4为自由未知量）
解法二：（电脑算）
>>A=[1 -1 5 -1;1 1 -2 3;3 -1 8 1;1 3 -9 7];
>> D=null(A,’r’) 回车得：齐通的有理解基
D =-1.5000 -1.0000
3.5000 -2.0000
1.0000 0
0 1.0000
注:若不加’r’，用D=null(A)，得出两个“单位正交向量”非有理数.
5、求特征值、特征向量：
若用笔算求特征值、特征向量是相当麻烦的一件事，笔算方法及其原理一定告诉学生，但在实际应用中一般用电脑算。在下例中，只介绍用电脑求解：
解法一（笔算）：略。
解法二（电脑算）
>>A=[0 1 1;1 0 1;1 1 0]; >> [P,D]=eig(A) （P：特征列向量，D：对角阵特证值），
回车得：
P =－0.7152 0.3938 0.5774
0.0166 －0.8163 0.5774
0.6987 0.4225 0.5774
（特征向量为小数，主要是单位正交化了。正交矩阵定义：P'*P = E ）
我们知道用施密特方法把向量组正交化是相当麻烦的，而电脑给出的结果直接是正交化了的向量组，真是太好了，这在实际应用中有很大帮助。
线性代数中还有很多复杂的计算问题，用以上方法教学，会收到事半功倍的效果，深受学生欢迎，这里就不再一一举例了。这样教学还可以节约较多的课时，用于讲解难点内容（如线性相关、线性变换、向量空间等内容）。
微积分教学特别是一元微积分教学应等到期末再讲matlab计算，否则，学生倾向matlab电脑计算，影响笔算能力的培养。作为现代大学生掌握运用matlab数学软件计算很有必要，但必要的笔算能力是要具备的。
[1]刘忠志.应用型本科高等数学教学与“CDIO”教学改革初探[J].湖南科技学院学报,2011,(4).
O13
A
1673-2219（2012）08-0007-06
2012－04－21
第二批院级教学成果培育项目“应用型本科《高等数学》教学改革研究与实践”。
刘忠志（1959－），男，湖南永州人，广东白云学院基础教学部副教授，研究方向为高等数学教育研究。
（责任编校：何俊华）
