基于跳扩散过程的奇异期权定价

胡素敏,黎伟,武文娜

(1.河南城建学院数理系,河南 平顶山 467036; 2.中国矿业大学理学院,江苏 徐州 221116)

期权定价问题一直是金融数学和金融工程学研究的核心问题之一.在以往的期权定价中,人们普遍假设标的资产价格服从几何布朗运动,它是一个连续的随机过程,而在金融市场上,一些重要信息的到达会刺激股票价格发生不连续的跳跃,因此股票价格应包含连续扩散过程和不连续的跳跃过程两方面.关于股价服从跳扩散过程的期权定价方面,周圣武研究了股价服从跳扩散过程的标准欧式期权定价[1],刘宣会研究了基于跳扩散过程的一类亚式期权定价[2].Zhang[3]和Freeman[4]等研究了跳扩散模型下期权的定价和应用问题.本文中将用跳扩散过程研究股价的演化行为,即用Poisson过程描述股价的跳跃行为,在此基础上应用风险中性原理研究基于跳扩散过程的上限型权证及局部支付型权证这两种奇异期权的定价公式,并得出推论.

1 预备知识

研究跳扩散过程下奇异期权的定价问题,需要如下假设:

(H1) 股票价格ST遵循It过

(1.1)

其中r是无风险利率,Wt为标准Brown运动,σ为股票价格的波动率,qt是一个强度为λ的Poisson计数过程,dqt是描述St发生跳跃的点过程,当股票价格发生跳跃时dqt=1,否则dqt=0,U为股价的跳跃幅度,k=E(U). 应用公式It解随机微分方程(1.1)式,可得股票价格的对数过程lnSt所满足的常系数随机微分方程

(1.2)

(1.3)

其中τ=T-t,Un表示股票价格在第n个跳跃时刻tn的跳跃幅度,并假设U1,U2,…,Un,…是一列独立同分布的随机变量.

为表述方便,本文中沿用Merton[6]的假设:

(1.4)

其中μ,σU为常数.

(1.5)

而且由U,qt,Wt相互独立可知Z1,Z2也相互独立.

(1.6)

(H3) 权证存续期间内,标的资产不支付红利.

2 奇异期权的定价

定义2.1上限型权证或买权 (capped calls)到期时的价值或现金流如下:

图1 上限型权证之现金流

其中K1,K2给定,以图1表示其现金流.

该权证的价值解释如下：

(1) 在到期时,标的价格ST小于或等于履约价格K1,则该权证的价值为零(CT=0),与一般买权的到期价值相同.

(2) 在到期时,若标的价格介于K1和K2之间(K1

(3) 若ST≥K2,则权证的价值受到上限K2-K1的限制,这与一般买权价值的决定(ST-K2)不同.这是因为该权证的价值受到上限的约束,因此其权利金得以降低,若K2的设定越远离K1,则该权证越接近一般的买权.因此,所节省的权利金越少.

在风险中性世界里,上限型权证的评价模型可根据该权证 (或买权)到期现金流量的期望值,以无风险利率折现,并可以用公式表示:Ct=e-r(T-t)E[(ST-K1)I{K1

其中IA代表示性函数,定义为:

定理2.1标的股票价格St服从跳扩散过程(1.1)式,K的上限型权证在t时刻的价值为

(2.1)

定理2.1的证明Ct=e-rτE[(ST-K1)I{K1

e-rτE{{E[(ST-K1)I{K1

(2.2)

第一个数学期望为

E[(ST-K1)I{K1

(2.3)

第二个数学期望为

(2.4)

将(2.3)、(2.4)式代入(2.2)式

(2.5)

(2.6)

(2.7)

将(2.7)式代入(2.6)式得

推论2.1当n=0时,即股价不发生跳跃时,

(2.8)

定义2.2局部支付型权证或买权在到期时的价值或现金流为:

图2 局部支付型权证之现金流

该权证的期终价值解释如下:

(1) 在到期T时,标的价格ST小于K1或大于K2时,权证的价值为零(即若STK2,则CT=0).

(2) 在T时,若标的价格介于K1和K2之间(K1≤ST≤K2),该权证的价值为y+α(ST-K1),y为ST=K1时的权证价值.斜率α可调整为大于、小于或等于1,若α=1时,权证的价值刚好等于y加上一般买权在K1及K2间的价值,即y+α(ST-K1).

在风险中性世界里,局部支付型权证的评价模型可根据该权证到期现金流量的期望值,以无风险利率折现,并可以用下列公式表示:Ct=e-rτE{[y+α(ST-K1)]I{K1≤ST≤K2}}.

定理2.2标的股票价格St服从跳扩散过程(1.1)式的局部支付型权证在t时刻的价值为

(2.9)

各字母表示含义与定理2.1相同.

定理2.2的证明

(2.10)

第一个数学期望为

(2.11)

第二个数学期望为

(2.12)

将(2.11)～(2.12)式代入(2.10)式得：

(2.13)

(2.14)

(2.15)

将(2.15)式代入(2.14)式得

推论2.2当n=0时,即标的股价不发生跳跃时

(2.16)

此处含义同推论2.1,此定价公式与文献[7]中的结论相同.

3 数值算例

(1) 考虑一只股票价格服从跳扩散过程的上限型权证,其定价公式为(2.1)式,各变量取值如下：

K1=35,K2=45,r=0.07,τ=T-t=0.5,σ=0.4,μ=0.1,σU=0.4,

考察在该权证有效期内,当其它参数不变时,该权证价值Ct随信息平均跳跃强度λ和股票价格变化的情况.

图3给出了上限型权证买权价值随股票价格和平均跳跃强度的变化情况图,由图可知,当跳跃强度不变时,上限型权证买权的价值随股票价格呈S型的变化,这是由该权证的收益函数决定的;另一方面,当股票价格较小时,该权证的价值随跳跃强度的增大而增大,当股票价格较大时,该权证的价值随跳跃强度的增大而减小.特别地,图4给出了跳扩散过程下该权证的价值和连续扩散过程下该权证的价值(2.8式)的比较关系,该关系与图3的情形相吻合.

图3 上限型权证价值随股票价格和跳跃强度的变化

图4 跳扩散过程和连续扩散过程的比较

(2) 考虑一只股票价格服从跳扩散过程的局部支付型权证,其定价公式为(2.9)式,各变量取值为：K1=35,K2=45,α=0.5,y=20,r=0.07,τ=T-t=0.5,σ=0.4,μ=0.1,σu=0.4.

考察在该权证有效期内,当其它参数不变时,该权证价值Ct随信息平均跳跃强度λ和股票价格变化的情况.

图5给出了局部支付型权证买权价值随股票价格和平均跳跃强度的变化情况图,由图可知,当跳跃强度不变时,该权证的价值随股票价格的变化呈拱桥形状,这是由于当股票价格较小或较大时,权证的价值均接近于零;另一方面,股票价格较小或较大时,该权证的价值随跳跃强度的增大而增大,而在两个平衡点之间时,权证的价值却随着跳跃强度的增大而减小,这也是由收益函数决定的.特别地,图6给出了跳扩散过程下局部支付型权证的价值和连续扩散过程下该权证的价值(2.16式)的比较关系,该关系与图5的情形相吻合.

图5 局部支付型权证价值随股票价格和跳跃强度的变化

图6 跳扩散过程和连续扩散过程的比较

[1] 周圣武.基于跳扩散过程的欧式股票期权定价与风险度量研究[D]. 徐州:中国矿业大学,2009.

[2] 刘宣会.基于跳扩散过程的一类亚式期权定价[J]. 系统工程学报,2008,23(2):142-147.

[3] Leland H E. Option pricing and replication with transaction costs[J]. Journal of Finance, 1985(40):1283-1301.

[4] Markowitz H M. Portfolio selection[J]. Journal of Finance, 1952(1):77-91.

[5] 黄志远. 随机分析学基础[M]. 北京:科学出版社, 2001.

[6] Merton R G. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J]. Journal of Financial Economics, 1976(3):125-144.

[7] 陈松男. 金融工程学[M]. 上海:复旦大学出版社, 2002.