利用计算机软件演示简谐振动的合成

黄贤群

（韩山师范学院物理与电子工程系，广东潮州 521041）

简谐振动是最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成，简谐振动的合成原理，在讨论声波、光波及电磁辐射的干涉和衍射时经常用到[1]，所以它在大学物理理论课程的教学中占有不可忽视的地位.在大学物理实验中，利用示波器演示李萨如图形和“拍”的形成，验证相互垂直两谐振动的合成也是比较重要的实验内容之一，由于该内容比较抽象，学生很难理解和掌握.而计算机辅助教学能够有效弥补现实实验的不足，文献[2]利用Visual Basic程序设计语言模拟简谐振动的合成，但需要编写大量的程序代码且无法动态演示，教学效果不够明显.本文利用其它计算机应用软件如Excel、LabVIEW、Matlab等分别演示了该实验内容，起到了更好的教学效果.

1 简谐振动的合成原理

1.1 同方向两简谐振动的合成

设质点同时参与两个同方向的简谐振动，对应的运动方程为

两者合成后的合振动方程为

当 f1≠f2，A1=A2，φ1=φ2时，利用三角恒等式可求得

由（4）式可知，当 f1、 f2较大且接近时， f2-f1远小于 f1或 f2，这时会产生“拍”的现象[3].

1.2 相互垂直两谐振动的合成

设质点同时参与两个振动方向相互垂直的简谐振动，一个沿x轴方向振动，一个沿y轴方向振动，以平衡位置为坐标原点，则对应的运动方程为

当相互垂直两分振动的频率比为有理数时，合运动的轨迹就是稳定的闭合的曲线，这些稳定的闭合曲线称为李萨如图形（Lissajous figures）.

2 利用Excel办公软件演示简谐振动的合成

启动Excel应用软件后，根据（1）、（2）式在“A2：C4”区域设置好振幅A、频率 f、初相位φ等参数，在区域“A5：D5”分别输入t、x(x1)、y(x2)、x1+x2作为标题栏，在数据列t输入具体时间数值，根据谐振运动方程，分别在单元格B6、C6、D6中输入运算公式“＝$B$2*COS(2*PI()*$B$3*A6+$B$4)”、“＝$C$2*COS(2*PI()*$C$3*A6+$C$4)”、“＝B6+C6”，按下Enter键确认输入后,通过拖动鼠标的方式，计算出对应的绘图数据.根据Excel插入图表方法，以数据列t为x轴，分别以x1、x2、x1+x2为y轴，画平滑线散点图，可得同方向两谐振动的合成图如图1所示.

图1 基于Excel演示“拍”的现象

以数据列x1为x轴，以数据列x2为y轴，画平滑线散点图，可得相互垂直两谐振动的合成图如图2所示.将绘制好的合成图形编辑、修饰后，依次选择“视图”、“工具栏”、“窗体”，在“窗体”工具栏上，点击“滚动条”按钮，在图表下面添加一滚动条并调整其位置和大小.选中滚动条后，按鼠标右键，在弹出的快捷菜单中选择“设置控件格式”菜单项，随即在弹出的“对象格式”对话框中切换到“控制”选项卡中，然后将“最大值”调整为10，在“单元格链接”文本框中输入“$B$2”，确定输入后，该滚动条即可控制参数A1的大小.以同样的方法，分别添加并设置好可以控制参数A2、 f1、 f2、φ1、φ2的滚动条，拖动滚动条便可动态的演示简谐振动的合成图[4].

由图1和图2演示结果可知，利用Excel演示物理现象不需要编程、操作方便快捷，通过物理原理，进行数学建模，设置参数后计算绘图数据，再通过数据绘图，数据点清晰，合成过程直观明了.

图2 基于Excel演示的李萨如图形

3 利用虚拟仪器开发语言LabVIEW设计简谐振动合成仪

LabVIEW是图形化编程语言，具有入门容易、人机交互界面清晰等优点.根据简谐振动合成的原理，利用LabVIEW设计了在同一界面上，同时显示两个简谐振动的波形图和这两路信号在同一方向上和相互垂直方向上的合成图形.具体的设计步骤如下：

（1）从控制模板中的Graph Indicator子模板中选取三个波形图控件和一个Express XY Graph对象，置于前面板的适当位置.

（2）切换到程序的后面板，从函数模板中的Analyze子模板中选取两个正弦波形发生器（Sine Waveform.vi），并在frequency、amplitude、phase三个端口新建输入控件，用于控制其频率、幅值和相位.

（3）分别将两个Sine Waveform.vi的Signalout输出数据端口与其中的两个波形图相连接，将分开显示两个信号的波形.

（4）分别将两个Sine Waveform.vi的Signalout输出数据端口与Build XY Graph Express VI的X输入以及Y输入两个数据端口相连.将产生的两路正弦信号分别作为横、纵坐标在Express XY Graph中绘图.

（5）从函数模板中的Numeric子模板中，选择ADD节点放置在适当的位置，分别将两个Sine Waveform.vi的Signalout输出数据端口与ADD节点的两个输入端相连，ADD节点的输出端连接到第三个波形图中[5].

（6）从函数模板中的Execution Control子模板中选取While Loop函数.并把整个程序框起来.编辑好的程序的后面板见图3.

（7）切换到程序的前面板，合理调整、修饰前面板的对象，完成代码的编辑.（8）运行程序，程序的运行效果见图4.

4 利用Matlab软件编程模拟简谐振动的合成

Matlab是一种科学计算软件，主要适用于矩阵运算和信息处理领域的分析设计，它使用方便、输入简捷、运算高效、内容丰富，具有强大而简易的作图功能，该软件已成为大学教学和科学研究中必不可少的工具[6].用Matlab编程演示同方向两谐振动的合成主程序如下：

a1=input('a1=')；w1=input('w1=')；

图3 后面板程序框图

图4 基于LabVIEW的简谐振动合成仪

a2=input('a2=')；w2=input('w2=')；

t=0:0.01:100

y1=a1*cos(w1*t+3.14)；

y2=a2*cos(w2*t)；

y=y1+y2；

subplot(3,1,1)，plot(t,y1)，ylabel('y1')

subplot(3,1,2)，plot(t,y2)，ylabel('y2')

subplot(3,1,3)，plot(t,y)，ylabel('y'),xlabel('t')

利用该程序，输入适当的参数后，演示“拍”的现象如图5所示.利用Matlab编程演示相互垂直两谐振动的合成图即频率比为 fy:fx=3:2的李萨如图形如图6所示

图5 基于Matlab演示的“拍”的现象

图6 基于Matlab演示的李萨如图形

5 结束语

利用Excel、LabVIEW、Matlab等计算机软件动态演示简谐振动的合成过程，操作方便快捷，学生如亲临实验室实验一样.通过以上几种计算机软件的演示结果，验证了简谐振动的合成规律，使理论更加明朗、直观，加深了学生对李萨如图形和“拍”现象的理解，说明了巧用计算机软件辅助物理实验教学能够提高教学效果.

[1]赵近芳.大学物理简明教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2008：219-221.

[2]阿合买提江·买买提，斯坎达尔·买提尼亚孜.用计算机模拟简谐振动的合成过程[J].乌鲁木齐成人教育学院学报，2006，14（1）：83-85.

[3]上海交通大学物理教研室.大学物理学教程[M].上海：上海交通大学出版社，2010：83.

[4]神龙工作室.Excel2003公式、函数与图表应用大全[M].北京：人民邮电出版社，2007：550-554.

[5]王磊，陶梅.精通LabVIEW8.0[M].北京：电子工业出版社，2007：218.

[6]陈怀琛.MATLAB及其在理工课程中的应用指南[M].西安：西安电子科技大学出版社，2000：125.