Cramer法则在解析几何中的应用研究

杨先山

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

Cramer法则在解析几何中的应用研究

杨先山

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

用Cramer法则以及行列式的运算性质，推导了平面上2点确定的直线方程、不共线3点确定的圆的方程、3条直线交于一点的充要条件和空间中不共线3点确定的平面方程等几个常见的结论。并将结论表示成行列式的形式，推导过程容易理解，结论形式简洁。

Cramer法则；解析几何；行列式

1 Cramer法则

把Cramer法则应用于齐次线性方程组,可得如下结论:

推论1含有n个未知数n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式D=0。

Cramer法则主要应用在对于含n个方程n个未知数的非齐次线性方程组,当系数行列式D≠0时解的存在性、唯一性以及解的求法上,推论1主要应用在对于含n个方程n个未知数的齐次线性方程组是否有非零解的判断上。

下面，笔者将利用Cramer法则探讨解析几何中的一些问题❶。

2 应 用

2.12点确定的直线的方程

定理2平面上通过横坐标互不相同的n个点Pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)的曲线y=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1有且仅有1条。

证明把n个点的坐标代入曲线方程y=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1,得到含n个方程n个未知数的非齐次线性方程组及其系数行列式D：

(1)

将a0,a1,a2,…,an-1看作未知数,系数行列式D是n阶范德蒙德行列式,由于xi(i=1,2,…,n)互不相同,所以D≠0。依据Cramer法则,得方程(1)有唯一解,故通过Pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)的曲线y=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1有且仅有1条：

式中，Dj(j=1,2,…,n)是用方程组的常数项代替系数行列式D中第j列的元素后所得的n阶行列式。

2.2不共线3点确定的圆的方程

证明设圆的方程为x2+y2+Ax+By+C=0,把3个点的坐标代入圆的方程,得含3个方程3个未知数的非齐次线性方程组及其系数行列式D：

(2)

将A,B,C看作未知数,由P1,P2,P33点不共线得D≠0,所以方程(2)有唯一解:

代入x2+y2+Ax+By+C=0 ,整理得:

2.3平面上3条直线交于一点的充要条件

证明平面上3条直线两两不平行,则任意2条都相交，过l1与l2交点的直线方程记为：

l(a1x+b1y+c1)+m(a2x+b2y+c2)=0 (l,m不全为零)

即(la1+ma2)x+(lb1+mb2)y+(lc1+mc2)=0。令：

(3)

2.4空间中不共线3点确定的平面方程

证明设平面π的方程为ax+by+cz+d=0(a,b,c不全为0),因为P1,P2,P33点在平面 上,则其坐标必须满足π的方程,从而得到以a,b,c,d为未知数的齐次线性方程组及其系数行列式D：

(4)

因a,b,c不全为0,说明齐次线性方程组(4)有非零解,所以其系数行列式D=0,即所求平面π的方程。

[1]同济大学数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]吕林根,许字道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2006.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.003

O151.2

A

1673-1409(2012)12-N006-03