有关初中数学多面体的一些规律探索

周秀丽

（潍坊市北海双语学校，山东 潍坊 261200）

我们生活的空间是三维空间，人们在生活、生产中所直接接触的是各种各样的物体，所以对物体的形状、大小和数学性质进行研究，可以帮助学生进一步丰富对空间图形的认识和了解，理解二维与三维图形之间的联系，培养学生的应用意识。

初中数学课程标准对“空间与图形”的总体目标做了如下描述：丰富学生对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展学生形象思维，发展几何直觉。“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。

空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须有观察、操作、想象、思考、推理、验证等一系列过程。这个过程，不仅是一个实践的过程，更是一个探索的过程，一个循序渐进的过程。下面以“多面体”的相关知识为例，探索其所蕴含的某些规律，以便于帮助学生更好地认识和理解生活的空间，培养学生的创新精神。

一、多面体的顶点数、面数、棱数

（一）棱柱

观察图1，填写下表，你发现了什么规律？

棱柱 顶点数 面数 棱数 顶点数+面数—棱数三棱柱 3+3=6 3+2=5 3+3+3=9 6+5-9=2四棱柱 4+4=8 4+2=6 4+4+4=12 8+6-12=2五棱柱 5+5=10 5+2=7 5+5+5=15 10+7-15=2…N棱柱 n+n=2n n+2 n+n+n=3n 2n+(n+2)-3n=2

总结：N棱柱有2n个顶点，n+2个面，3n条棱，顶点数+面数—棱数=2.

练习：1.一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（ ）

A.十八边形 B.八边形 C.六边形 D.四边形

2.一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（ ）

A.10个 B.9个 C.8个 D.7个

3.下列结论中，错误的是（ ）

A.棱柱的侧面数与侧棱数相同

B.棱柱的棱数一定是3的倍数

C.棱柱的顶点数一定是偶数

D.棱柱的面数一定是奇数

答案：1.C 2.C 3.D

（二）棱锥

观察图2，填写下表，你发现了什么规律？

棱锥 顶点数 面数 棱数 顶点数+面数—棱数三棱锥 3+1=4 3+1=4 3+3=6 4+4-6=2四棱锥 4+1=5 4+1=5 4+4=8 5+5-8=2五棱锥 5+1=6 5+1=6 5+5=10 6+6-10=2…N棱锥 n+1 n+1 2n (n+1)+(n+1)-2n=2

总结：N 棱锥有(n+1)个顶点，(n+1)个面，2n条棱，顶点数+面数—棱数=2.

练习：1.正四面体的顶点数和棱数分别是（ ）

A.3，4 B.3，6 C.4，4 D.4，6

2.（1）三棱锥有6条棱，4个面，四棱锥有_____条棱，_____个面；

（2）_____棱锥有30条棱；

（3）有没有一个多棱锥，其棱数是2006，若有，求出有多少个面；若没有，说明理由.

答案：1.D2.（1）8，5；（2）15；（3）有，1004个面.

归纳：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间的关系式V+F-E=2叫做欧拉公式。

练习：（2010·宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察图3下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：

多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）四面体 4 4长方体 8 6 12正八面体 8 12正十二面体 20 12 30

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________.

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________.

（3）某个玻璃制品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.

答案：（1）6，6；V+F-E=2.（2）20.（3）这个多面体的面数为x+y，棱数为条，根据 V+F-E=2，可得24+（x+y）-36=2，所以 x+y=14.

二、多面体的表面展开图，需要剪断的棱数

（一）棱柱

把一个N棱柱沿着某些棱剪断展开成平面图形，需要剪几刀？

探索

1.三棱柱

（1）动手操作，将一个三棱柱沿着某些棱剪开，展成平面图形，需要剪几刀？

（2）观察如图4所示的三棱柱的表面展开图，需要剪几刀，才能展成平面图形？

分析：图4中的前四幅图，都可以看成是剪断1条侧棱和4条（上下各2条）底棱得到的；后三幅图，都可以看成是剪断3条侧棱和2条底棱得到的.三棱柱共有9条棱，其中各展开图中均有4条棱是连在一起的，5条棱断开了.共需要剪5刀.

2.四棱柱

如图5，要将一个正方体模型剪开成平面图形，需要剪断多少条棱？

分析：图5中的前6幅图，都可以看成是剪断1条侧棱和6条（上下各3条）底棱得到的；后5幅图可看作是剪断2条侧棱和5条底棱、3条侧棱和4条底棱而得到的.四棱柱共有12条棱，其中各展开图中均有5条棱是连在一起的，7条棱断开了.共需要剪7刀.

3.五棱柱、六棱柱

如图6，要将一个五棱柱六棱柱展开成平面图形，分别需要剪断多少条棱？

分析：从图6中可以看出，五棱柱和六棱柱的表面展开图，都是剪断了1条侧棱，然后再分别剪断8条（上下各2条）、10条（上下各2条）底棱而得到的。五棱柱共有15条棱，展开图中6条棱是连在一起的，9条棱断开了，共需要剪9刀；六棱柱共有18条棱，展开图中有7条棱是连在一起的，11条棱断开了，共需要剪11刀.

总结：如下表，要将一个N棱柱展开成平面图形，需要剪断（2n-1）条棱.

棱柱 剪断的棱数侧棱 底棱 合计三棱柱 1 2+2=4 5四棱柱 1 3+3=6 7五棱柱 1 4+4=8 9六棱柱 1 5+5=10 11…N棱柱 1 （n-1）+（n-1）=2n-2 2n-1

（二）棱锥

把一个N棱锥沿着某些棱展开成平面图形，需要剪几刀？

1.三棱锥

（1）动手操作，将一个三棱柱沿着某些棱剪开，展成平面图形，需要剪几刀？

（2）观察如图7所示的三棱柱的表面展开图，需要剪几刀，才能展成平面图形？

分析：把四面体的底面固定不动，沿三条侧棱剪开，展在平面上，即得①，把四面体的底面和相邻的一个侧面的棱不剪，其余的棱剪开，展开在一个平面上，得到②.可以剪断3条侧棱；或2条侧棱，1条底棱；或1条侧棱，2条底棱；或3条底棱，有3条棱连在一起，3条棱断开.共需要剪3刀.

2.四棱锥

如图8，要将一个四棱锥正方体模型剪开成平面图形，需要剪断多少条棱？

分析：可以剪断4条侧棱，也可以剪断4条底棱，或者采用其他的方法.共需要剪4刀.

3.五棱锥

如图9，要将一个五棱锥正方体模型剪开成平面图形，需要剪断多少条棱？

分析：仿照四棱锥的剪断方法，可以剪断5条侧棱，也可以剪断5条底棱.共需要剪5刀.

练习：要将一个N棱锥展开成平面图形，需要剪断多少条棱？

总结：通过以上三棱锥、四棱锥、五棱锥的探究，要将一个N棱锥展开成平面图形，需要剪断n条棱.

三、利用实物模型，实现由平面到立体的转换

学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源，教学过程中要引导他们充分利用身边的实物模型.

如图10是一个多面体展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：

（1）如果面A在多面体的底部，那么在上面的一面是_____；

（2）如果面F在前面，从左面看面B，那么在上面的一面是_____；

（3）从右面看是面C，面D在后面，那么在上面的一面是_____.

分析：这是一个正方体的表面展开图，要变成一个空间图形，需从相对面入手，分析及解答问题.共有六个面，其中面“A”与面“F”相对，面“B”与面“D”相对，“C”与面“E”相对.也可利用身边的立方体（或长方体）模型，如手中的橡皮、文具盒、课本等实物，根据题意在各个面上标上字母，再动手操作.

解：（1）由图可知，面“A”与面“F”相对，∴ 面 A 在多面体的底部，那么在上面的一面是F；

（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面在下面，∵ 面“C”与面“E”相对，∴ 在上面的一面是C；

（3）由图可知，如果C面在右面，D面在后面，那么“F”面在下面，∵ 面“A”与面“F”相对，∴ 在上面的一面是 A.故答案为：F，C，A.

总结：实现由表面展开图到立体图形的转化，可借助实物模型，既可以向“外”折，也可以向“里”折.但要保证所标字母或图案露在外面，必须向“里”折.

练习：如图11，一个正方体共有12条棱，展开图中连在一起的有5条，所以要剪7条，如图所示，是一个多面体展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果A在前面，从左面看是D，那么其他各面分别在什么位置？

答案：上面是C，下面是E，右面是B，后面是F.