注重数学思想方法的教学

曹 阳

（南京市第二十八中学，江苏 南京 210004）

数学知识不仅包括数学内容，还包括这些内容所反映的数学思想方法，它们隐藏在数学概念、法则公式、定理等知识的背后，它们比一般的数学概念具有更高的概括性和抽象性。重视数学思想方法的教学是数学知识运用的核心，是数学的精髓和灵魂。就初中数学而言，常用的数学思想方法有：符号、分类、化归、数形结合、函数与方程、类比等等。本文以初中数学为例，结合自己的教学实践对上述思想方法作进一步的阐述。

一、初中数学教材中的数学思想方法

1.符号的思想

研究数学问题时，为使问题简明，常常要引进数学符号，这种引进数学符号来简化问题的思想就是符号思想，用字母表示数的思想就属于符号思想。符号既可表示数，亦可表示量、关系、运算、图形等，符号思想在初中数学各章节都出现，可以说没有符号就没有代数、没有几何，它是简化问题最基本的方法，利用它可以提高我们的记忆力，起到化繁为简的目的，因此我们在教学中要贯穿这个思想，提高学生的思维能力。

例：把（a+b）2-（a-b）2分解因式

学生A：解：原式=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab

学生 B：解：原式=（a+b+a-b）（a+b-a+b）=4ab

分析：刚学分解因式时，有一部分学生会采用学生A的做法，因为他们还没有深刻地理解公式a2-b2=（a+b）（a-b）里的a，b的意义，所以不会想到学生B的做法。但是如果把题目变为（3a+b）2-（a+2b）2，学生们会发现用学生A的方法分解因式困难，而采取学生B的做法，运用公式却能分解因式。此时，教师可强调公式里的a，b不仅可以表示实数，还可以表示单项式或多项式。

2.分类讨论的思想

分类思想指的是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。分类在解题中是一种很重要的方法，掌握分类思想，有助于学生提高理解知识、整理知识和独立获得知识的能力。运用这种方法解决数学问题要注意两点：一是不能遗漏，二是不能重复。

例：如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=4cm，CD=8cm，点P从A开始沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为t（s）。如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

图1

分析：因为⊙P和⊙Q的半径都是2cm，所以当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切。而当PQ=4cm时，如果PQ//AD，那么四边形APQD是平行四边形；如果PQ与AD不平行，那么四边形APQD是等腰梯形。本题应该分成两类讨论，最后可得当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q外切。有些学生经常会漏解，教师在教学中要把重点放在教会学生如何去分类，不要就题讲题。

3.转化的思想

转化思想又称化归思想，是最常用的数学思想方法，它实际上贯穿于解题的全过程，它是根据已有的知识、经验把问题进行变换，转化为已经解决的或容易解决的思想方法，最终目的是：化繁为简，化抽象为直观，化隐为显，化难为易，化未知为已知等等。如在数的运算中，将减法化成加法，除法化成乘法，幂的运算可变成指数的加减运算；在分式计算中，把异分母分式化成同分母分式。在解方程中，把“二元”转化为“一元”；分式方程变为整式方程。在证明中，也常常用到转化的思想。

图2

例：如图 2，已知▱ABCD 中，AB=2AD，∠BAD=60°，E、F分别是AB和CD的中点。求证：EF、BD互相垂直平分。

分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，所以可以转化为证明四边形BFDE是菱形，显然要连接BF和DE，由已知条件，很容易先证得四边形BFDE是平行四边形。接着要证一组邻边相等，可转化为先证△AED是等边三角形，再根据已知AB=2AD，即可得到BE=DE。有些学生对几何证明题甚感头痛，主要是因为他们没有掌握解决证明题的思想方法。

4.数形结合的思想

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式等，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。

例：若 a＞0，b＜0 且 a+b＜0，则把 a，-a，b，-b 小到大的排序。

分析：如果从“数”的范围去讨论这个问题颇显困难，但若从“形”的角度去考虑，利用数轴很容易得到b＜-a＜a＜-b。

5.函数与方程的思想

函数与方程的思想就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、不等式等问题都可利用函数思想得以简解。

例：如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10。在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使得矩形MFGN∽矩形ABCD。令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

分析：因为矩形MFGN∽矩形ABCD，可得MF=2x，那么 EM=EF-MF=10-2x，所以，根据二次函数的性质，易得当时，S有最大值为

二、在教学实践中加强数学思想方法的教学

中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。进行数学思想方法的教学，必须在实践中探索规律，以构成数学思想方法教学的指导原则。数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。一般来说，应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则。它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。

1.渗透性原则

在具体知识教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。数学思想方法与具体的数学知识虽然是一个有机整体，它们相互关联，相互依存，协同发展，但是具体数学知识的教学并不能替代数学思想方法的教学。一般来说，数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。如果说数学方法尚具有某种外在形式或模式，那么作为一类数学方法的概括的数学思想，却只表现为一种意识或观念，很难找到外在的固定形式。因此，数学思想方法的形式绝不是一朝一夕可以实现的，必须日积月累，长期渗透才能逐渐为学生所掌握。如：在“有理数及其运算”一章中，可以结合“数轴”教学，进行数形结合思想的渗透；在“有理数的混合运算”中可以渗透转化的思想方法。

2.反复性原则

学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的认识规律。因此，这个认识过程具有长期性和反复性的特征。从一个较长的学习过程看，学生对每种数学方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。如对同一数学思想方法，应该注意其在不同知识阶段的再现，以加强学生对数学思想方法的认识。另外，由于个体差异的存在，与具体的数学知识相比，学生对数学思想方法的掌握往往表现出更大的不同步性。在教学中，应注意给中差生更多的思考，接受理解的时间，逾越了这个过程，或人为地缩短，会导致学生囫囵吞枣，长此以往，会形成好的更好，差的更差的两极分化局面。

3.系统性原则

与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。数学思想方法有高低层次之别，对于某一种数学思想而言，它所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，也必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握，这就是数学思想方法教学的系统性原则。

对于数学思想方法的系统性的研究，一般需要从两个方面进行：一方面要研究在每一种具体数学知识的教学中可以进行哪些数学思想方法的教学。另一方面，又要研究一些重要的数学思想方法可以在哪些知识点的教学中进行渗透，从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。如：“二元一次方程组”这一章，就体现了函数与方程、转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、消元法、等基本的数学方法。