“课题学习”类试题的命制策略及对教学的启示

● (宁波市教育局教研室 浙江宁波 315010)

“课题学习”类试题的命制策略及对教学的启示

●杨一丽(宁波市教育局教研室 浙江宁波 315010)

《课程标准》把“实践与综合应用”列为独立的学习领域，给学生提供了进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道.课题学习作为“实践与综合应用”的一种呈现形式，目的是让学生通过一系列的问题(或活动)的探究过程展现数学思维的活动，获得研究问题的方法和经验，促进思维能力的提升，同时进一步认识知识间的内在联系，加深对相关知识的理解.因此“课题学习”类试题有着丰富的知识与思想内涵，但教材中课题学习的素材有限，如何开发和利用“数学课题学习”的课程资源，编制“课题学习”类试题是摆在数学教师面前的新任务.下面笔者以编制宁波市中考数学“课题学习”类试题为例，谈谈这一类试题命制的策略与技巧.

1 命制策略

1.1 以“信息迁移”为手段编拟试题，着重考查学生的学习能力

这一类试题往往先给出新定义或约定一种新运算或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求学生运用已学知识和方法理解“新定义”，解决新问题.其挑战性在很大程度上取决于“新”的程度及所设置的问题与“新定义”的关联程度.以“信息迁移”为手段编拟的试题，更能体现知识内涵与外延的辩证关系，体现考查的公平性和创新性.此类试题重视学生学习潜能的综合考查，对引导和促进“课题学习”具有积极的意义.

例1(以下省略了原试卷中的情景图案)阅读下面的情景对话，然后回答问题：

教师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

生1：等边三角形一定是奇异三角形！

生2：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？

(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c.

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

(2011年宁波市数学中考试题)

图1

解(1)真命题.

(2)根据“奇异三角形”的定义及勾股定理，可得

AC2+CE2=2AE2,

即得△ACE是奇异三角形.

②由第①小题知Rt△ACE是奇异三角形,可得

或

从而∠AOC的度数为60°或120°.

编拟思路本题原计划是想编拟一道勾股定理引申的拓展题，但在编拟过程中发现直角三角形的三边关系以及面积已被挖掘很多，难有新意，因此决定选择探索三边有特殊联系的其他三角形.于是“奇异三角形”的概念就诞生了.本题首先通过判断命题的真假以识别学生是否了解“新定义概念”，然后从正三角形到直角三角形、从直角三角形到圆、逐步迁移加深、拓宽知识间的联系，在理解、应用层次上考查学生在新情景中进行归纳、类比、应用数学知识的能力.

点评本题是以“信息迁移”为手段编拟的试题，创作的灵感源自于“勾股定理”.通过“新定义”及“新问题与新定义之间的转化距离”这2个维度调控试题挑战性的程度.试题的精妙之处在于已经跳出勾股定理的局限，把变化的图形中所蕴藏的不变(三角形边长之间的数量关系)作为探索的方向.试题呈现方式新颖独特，内涵丰富深远.它将等边三角形、直角三角形、圆等初中数学的核心内容融合在一起，设计的探究内容遵循了“由特殊到一般”的规律.

1.2 以“类比”为主旨编拟试题，着重考查学生的推理能力

类比本质上是用熟悉问题的解决方法去解决新问题的一种策略，它是一种创造性的数学思想方法，又是一种常见的知识拓展策略.类比思想在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法上有着重要的作用.波利亚曾说过：“类比是个伟大的领路人.”成功编拟此类试题需要准确分析和把握其间的类比关系，这不仅突出了对知识间内在联系的考查，更注重对学生推理能力的考查.以“类比”为主旨编拟问题，更能实现对知识有序化、系统化的管理和应用，体现考查的合理性和深刻性.

例2(1)如图2，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是______．

图2

(2)如图3，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图4中，并写出这个图形的边数．

(3)现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？

(2009年宁波市数学中考试题)

图3

图4

图5

解3个问题的答案分别为12,20,30；第(2)小题的解答如图5所示.

编拟思路在编拟过程中，根据命制的双向细目表，第21题要考查的是课题学习的内容.我们希望考查的目标导向是该题源于教材，又高于教材.因此我们最先把目光聚焦于浙教版教材七年级下册“雪花曲线”内容，展开类比探索.于是建立了最简单的基本图形——三角形，当三角形背景更改为正方形、正五边形后，从图形如何扩展,整个扩展后的图形彼此之间又存在怎样的联系入手编拟，命题尝试着实现从知识立意转变到能力立意的导向.

点评本题是以“类比”为主旨编拟的试题，要求参照正三角形边的扩展方法，类比构造出正方形、正五边形边的扩展方法,解决该类题且需要准确把握并正确运用其间的类比关系.通过对扩展后图形的边数探究，将结构之间的类比演变为问题结论和解决方法的演变，使得考查具有挑战性.此类试题让学生学会观察、学会类比，在观察中发现新问题，在类比中找到新思路.试题呈现图文并茂、直观形象，整体编排巧妙地体现了数学知识与美感的统一，有利于培养学生动手操作、深入推理的能力.

1.3 以“归纳猜想”为主旨编拟试题，着重考查学生的发现能力

“归纳猜想”既是一种重要的数学思想方法，又是常用的一种合情推理方式和思考策略.此类试题突出对学生猜想、发现能力的考查和创新精神的培养.成功编拟“归纳猜想”类试题的关键在于对所提供的具有若干“特殊”属性的对象的关联程度及对具有“一般”属性的对象显现程度的掌控和运用.以“归纳猜想”为主旨编拟试题更能突出对合情推理能力、归纳猜想能力、创新能力的有效考查.

例318世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察图6中几种简单多面体模型，回答下列问题：

图6

(1)根据上面的多面体模型，完成表格1中的空格：

表1 多面体顶点数、面数、棱数

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______.

(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是______.

(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形这2种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x+y的值.

(2010年宁波市数学中考试题)

解(1)6，6,V+F-E=2.

(2)20.

24+(x+y)-36=2，

从而

x+y=14.

编拟思路根据编拟计划，要求该题是一道规律探究题，希望有较深的文化背景，最好教材中又有涉及，让学生似曾相识却又需要经历探索过程得到结果.因此最终定位于浙教版教材八年级上册课本第57页第4题所给出的“直棱柱”模型，当思维超越于该模型后，就悟出根据四面体、长方体、正八面体、正十二面体这4个图形的关联性归纳猜想出欧拉公式，突出对学生合情推理能力、归纳猜想能力的考查.

点评本题是以“归纳猜想”为主旨编拟的规律探究题，这正是归纳发现的功效.第(3)小题是以能力立意的试题，是对得出的一般性命题的深化应用，解决该问题的关键在于能够根据给出的条件得到简单多面体的棱数.它的思想已在探索n边形的对角线条数的教学中渗透过，从而能够有效地考查学生对知识的迁移、重组能力，充分展现学生的思维方式和思维水平.本题在问题解决的同时也给我们带来了数学文化的熏陶.

1.4 以“数学问题”为对象编拟试题，着重考查学生的探究能力

以数学问题为对象编拟的试题,其主要特点表现为:关注知识的纵向深化、各部分知识之间的联系，从数学思想方法的角度有较为普遍的作用,同时又突出对学生探究能力等思维能力的考查.

例4四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的2个端点的距离不相等，但到另一对角线的2个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图7，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

(1)如图8，画出菱形ABCD的一个准等距点．

(2)如图9，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

(3)如图10，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．

图7

图8

图9

图10

解(1)(2)略.

(3)联结DB，通过证明△DCF≌△BCE,可得PD=PB，即得点P是四边形ABCD的准等距点．

(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0；

②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1；

③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2；

④四边形的对角线互相垂直且至少有1条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．

编拟思路此题是整卷的压轴题，以课题学习的形式出现，一方面是针对师生对课题学习的模糊认识，以引导师生认识课题学习的本质是通过一系列的问题(或活动)的探究过程展现数学思维的活动.我们希望该题先以简约的模型出现，再逐步深入，以体现知识间的纵向联系和重要的数学思想方法.本题围绕着四边形的对角线垂直、平分这2个维度进行思考，几个问题相互关联而又逐步深入，达到考查学生能力、体现数学核心思想的目的.

点评本题首先给出新定义“四边形的准等距点”，之后从简单特殊的菱形入手，再到一般情形下的规律研究，体现从特殊到一般的规律.本题较好地考查了学生的探究问题、归纳概括及语言表达的能力，突出对分类讨论、数学结合、归纳猜想、转化与化归等重要数学思想的考查.题中所蕴含的丰富的思想内涵对教学有着较大的启发和思考.

2 教学启示

2.1 加强读题训练，提高学生的阅读理解能力

数学语言是数学知识的载体，通过对近几年中考阅卷情况的分析发现：读不懂数学试题，成了学生解题思维障碍的第一道关卡.由于课题学习类试题都是通过数学语言类似于小专题的形式向学生传递信息的，因此阅读能力的培养凸显重要.数学阅读不同于一般文字材料的阅读，因为涉及数学符号语言，所以是一种十分精确的阅读.同时数学阅读更显过程，途中需要数学思维能力的支撑，在阅读中思考，在思考中阅读.而深入的阅读更需要知识的再现与联想.

在日常教学中，可以精选近几年中考中出现的课题学习类试题，引领学生从文字、符号、图形着眼进行读题训练，从数学内涵层面展开知识间的类比与联想，以促进学生阅读理解能力的提升.

2.2 教学中多经历活动过程，提高学生合情推理的能力

课题学习类试题往往需要学生对图形进行观察、动手操作和直观发现，在日常的教学过程中应让学生充分经历这些过程，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.只有提高学生的合情推理能力，学会研究问题的方式方法，才能使学生在面对陌生的题目背景时也能自主探究，利用已有的知识和信息独立解决问题，体验探究性学习过程的乐趣.

2.3 教学中多关注数学思想，为学生掌握解决问题的方法提供依据

“课题学习”类试题常包含较多的核心知识和核心思想，数学思想是解决数学问题的根本思想和手段，要从根本上解决问题，需要领悟数学思想的内涵.而数学思想常蕴含于各个数学分支中的公理、定理、公式、法则和解决问题中，因此学生不能明确感受到数学思想的价值，从而无法真正认识到数学内容的精华.因此教师应有意识地挖掘教材，通过教学使数学思想从隐含渗透状态转化为外显状态，帮助学生真正理解数学本质，重视数学思想方法的学习，更好地形成数学知识结构体系，为学生较好地解决课题学习类试题提供有力的保障.

[1] 张远增.2010年全国中考数学考试评价报告[M].上海：华东师范大学出版社，2011.

[2] 数学课程标准研制组.全日制义务教育数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.

[3] 孔凡哲,潘冠.论数学试题的质量标准[J].中学数学教学参考,2008(3)：13-15.