基于非线性统一强度理论的节理岩体地基承载力研究

师 林，朱大勇，沈银斌

(1.合肥工业大学 土木与水利工程学院，合肥 230009；2.合肥工业大学 安徽土木工程结构与材料省级实验室，合肥 230009)

1 引 言

由于水电开发和公路、铁路等工程建设的需要，岩体工程得到迅速发展，常常遇到节理岩体地基承载力问题。针对节理岩体剪应力和正应力之间的非线性关系特征，Hoek等[1－3]提出了节理岩体的Hoek-Brown强度经验准则，能较好地反映节理岩体强度的非线性特征，已在节理岩体地基承载力计算中得到广泛应用。但是，Hoek-Brown强度准则没有考虑中间主应力的作用，只适用于三轴等围压应力状态，不能完全反映岩石地基的实际应力情况，不利于充分发挥岩体的强度潜能。

针对中主应力2σ在不同应力条件下对材料屈服或破坏的影响，国内学者也进行了大量的理论研究[4－11]，如1985年俞茂宏提出双剪强度理论[6]；1991年俞茂宏提出统一强度理论，适用于拉压强度不等的岩石材料，并能充分反映中间主应力的效应[7]；昝月稳等[11]提出岩石的非线形统一强度准则，认为Hoek-Brown强度准则是其特例，并将该强度准则推广到节理化岩体。此外，周小平等[12－15]将统一强度理论引入传统地基承载力计算方法，得到了一些合理的结论。

临界滑动场理论是近年来发展的一种新的岩土稳定性分析方法，能够快速、准确地解决节理岩体地基承载力问题[16－17]。然而，师林等[17]提出的临界滑动场方法尚不能考虑中主应力对地基承载力的影响。本文将统一强度理论引入Hoek-Brown强度准则中，在文献[17]的基础上将基于统一强度理论的Hoek-Brown准则与临界滑动场理论相结合，推导地震荷载作用下的承载力计算公式，进一步拓展临界滑动场理论的应用范围。

2 基于统一强度理论的 Hoek-Brown强度准则

普遍应用于岩体工程的Hoek-Brown强度准则和Mohr-Coulomb强度准则等均无法反映中主应力对岩体实际应力情况的影响，为了寻找适用范围更广的强度准则，俞茂宏等[6－7]根据双剪多滑移单元体力学模型建立了双剪理论体系和统一强度理论，充分考虑了中主应力σ2对材料屈服破坏的影响。统一强度理论可以灵活地适用于各种材料，其主应力形式的表达式[7]为

式中：σ1、σ3分别为最大主应力和最小主应力（MPa）；σt为材料拉伸强度极限；α为材料拉压强度比；b为统一强度理论中引进的反映中间主应力及相应面上的正应力对材料破坏的影响程度系数。

根据统一强度理论处理σ2效应区间性的方法，昝月稳将中间主应力效应的区间性通过双剪力学模型和双剪函数表示，推导得到了岩石的非线性统一强度准则，其表达形式[11]为

式中：m为岩体经验参数；s为与岩体特征有关的参数；σc为岩体单轴抗压强度（MPa）。

当b=0时，式（2）蜕化为Hoek-Brown强度准则，中间主应力作用为 0，是屈服或破坏极限线的下限；当b=1时，式（2）蜕化为岩石的非线性双剪强度准则，中间主应力作用达到最大，对应于屈服或破坏极限线的上限。昝月稳[11]的研究表明，不同岩性的岩石中主应力效应是不同的，硬岩的中主应力效应要大于软岩，其中砂岩b取0.3～0.5，灰岩b取0.5，白云岩b取0.5～1.0，花岗岩、火山岩b取1.0。

平面应变应力场问题属于超静定问题，为求解这一超静定问题，可以利用的限制条件是平面应变条件和刚塑性假设。现阶段最常采用的是 Prandtl-Reuss假设和Levy-Mises假设，通过限制条件得到中主应力的大小[9－10]为

Prandtl-Reuss假设由相关流动法则和Mises屈服条件推导得到，但是，不加证明的将这一假设引入Mohr-Coulomb材料和Hoek-Brown材料是不合适的。为了解决这一问题，俞茂宏等[8]引入新的参数k，得到

式中：k为中间主应力系数，通过理论和实验来确定。根据经验，在弹性区可取k=2υ（υ为材料的泊松比）。在塑性区可取k→1，最简单的方法是假定k=1，此时对应于塑性不可压缩假设，即

由式（5）可知，在塑性区进行极限承载力计算时F＜F′，满足岩石非线性统一强度准则第2式的条件，即岩石的非线性统一强度准则为

将式（5）代入式（6）即可得到基于统一强度理论的Hoek-Brown强度准则：

式中：mb为岩体经验参数 m的值，其他符号意义同前。

3 基于统一强度理论的 Hoek-Brown强度准则强度参数的确定

1983年，Bray根据Hoek-Brown强度包络线的形状，将Hoek-Brown强度准则改写为剪切强度形式[3]：

图1 N1、N3对应的摩尔应力圆Fig.1 Mohr's stress circle corresponds to the N1, N3

由摩尔圆可得

以上两式结合起来，N、T可将表示为瞬时内摩擦角φ的表达式：

求解式（12）可得

求得瞬时内摩擦角φ后，即可根据抗剪强度公式求解瞬时黏聚力：

4 地震荷载下的地基承载力计算

地震时，由于地基破坏引起的危害被历次地震所证明，众多学者的研究也表明在地震及其他动力作用下地基承载力会有显著的下降。在工程应用中，习惯不考虑地震引起的液化作用，将地震荷载作为惯性力转化为静荷载来计算地基承载力，若地震时的水平地震系数为kh，竖直地震系数为kv，则所产生的水平向震动加速度为 khg，竖直向震动加速度为 kvg。如图 2所示，在地震荷载作用下的刚性条形基础位于节理岩体之上，基础上受集中力Q作用，首先将岩体分成两个区：朗肯区和过渡区。对于朗肯区，计算时单独作为一个条块，根据塑性力学理论，朗肯区由2条共轭滑移线组成，直接从塑性应力分析得出朗肯区的几何参数[16]：

图2 地基破坏示意图Fig.2 Sketch of foundation damage

地基破坏模式取由众多共顶点的刚性三角条块组成的单向滑动机制。为了简要说明，图2中只给出了5个示意条块，其中包括中间3个过渡条块，左边一个主动楔块，最右边一个被动朗肯区。在实际计算中，过渡条块的个数要远远大于3个。ψ1与ψ2为主动楔块中基础底面与岩体形成的夹角，通过ψ1与ψ2来限定主动楔块的几何形状，可以通过搜索来确定ψ1和ψ2值[16]。

主动楔块上的受力情况如图3所示。作用在主动楔块上的力包括：OA边上的被动土压力pa（pa的迭代求解过程见文献[17]），主动楔块重力Wa；水平向地震力khWa，竖直向地震力kvWa，两底边上的黏聚力合力Ca、C1a。

图3 主动楔块受力情况示意图Fig.3 Force condition of cuneiform slide block

通过受力平衡可以求得极限荷载 Q和反力 Ra的大小：

如图4所示，数值计算时首先把岩体离散，为保证计算精度，每条射线上的相邻离散点间距不能过大，本文取为0.25。此外，过渡条块亦不能过少，本文取过渡条块数为 100，根据文献[17]的方法求得各离散点的被动土压力pa。其次，角ψ1的初始试算值等于射线OAi与基础底面OD的夹角，角ψ2的值为射线 OAi上离散点和点 D的连线与基础底面OD形成的夹角。然后再到射线OAi-1，也就是改变ψ1值，不断选取射线 OAi-1上的所有离散点，得到不同的ψ1值。不同ψ1、ψ2值限定不同的主动楔块几何形状，根据式（20）可计算得到不同的Q值，（Q的具体计算迭代过程见文献[17]）。依次选取射线，可以计算得到众多的Q值，最后从中找出最小的Q值，即地基承载力的极限荷载，此时的滑动面即为最危险滑面。

图4 岩体的离散Fig.4 Discretizaton of joined rock masses

5 算例分析与比较

一宽度为6 m的条形基础，置于节理岩体上，节理岩体的材料参数见表 1。根据文献[17]的方法可得相关计算参数：mb= 0.603，s=4.54× 10-5，a =0.585，等效 Mohr-Coulomb强度准则的强度参数cm= 23 kPa，φm= 31.03°。

斜坡地基总是在斜坡一侧发生滑动，地基另一侧土体则不出现滑动面，受力情况尚不明确，于是引入发挥系数 n，发挥系数的概念是以整体平衡观点来研究斜坡土体另一侧未达到破坏的受力情况的。本文研究的是水平面上的岩质基础的极限承载力，在确定各点的应力状态时，假定各点的发挥系数均相等，取n=1.0。

表1 岩体材料参数Table 1 Material parameters of rock mass

此外，取b值分别为0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0六种情况和地震力系数分别为kv= 0，kh= 0；kv= 0.2，kh= 0.2；kv= 0.4，kh= 0.2；kv= 0.2，kh=0.4四种情况来计算该条形基础的承载力情况，计算结果见表2。

表2 无超载和地基开挖扰动时不同b值和地震力系数下的地基承载力Table 2 The foundation bearing capacity without overload and excavation disturbance upon the different values of b and various earthquake coefficients

首先分析结合统一强度理论（b≠0）后计算所得地基承载力与未结合统一强度理论（b=0）时计算所得地基承载力之间的关系，不同b值情况下的地基承载力变化情况如图5所示。当kv= 0.2，kh=0.2时，不同b值对应的基础破坏滑面如图6所示。

图5 不同b值下承载力变化情况Fig.5 Changes of bearing capacity under various values of b

图6 kv=0.2, kh=0.2时，不同b值下地基破坏滑面示意图Fig.6 Sketch of ground failure mode under various values of b when kv= 0.2, kh= 0.2

比较图 5发现，引入了统一强度理论的地基静、动承载力均有明显增加，随着b值的增加，地基承载力近乎呈线性增加，增幅最大达77%（b=1，kv= 0.2，kh= 0.4时）。分析图6可知，在地震力系数一定的情况下，随着系数b的增加，基础最危险破坏滑面不断向深部发展，抗破坏能力不断提高。引入统一强度理论后，地基静、动承载力均有较大程度的增加，这也表明现有的地基承载力计算方法未考虑中主应力的影响，其计算结果偏于保守，可以通过乘以相应的修正系数来修正现有的地基承载力计算方法。通过图5分析可以得到近似的修正系数：

对比不同地震荷载下的地基承载力大小可以发现，岩质地基承载力随着地震荷载的增加而减小，当kv= 0.2，kh= 0.2时，地基承载力比无地震荷载时减少约15%。同时，由图7可知，随着地震荷载的增加，基础最危险破坏滑面逐渐向浅部发展，抗破坏能力下降。分析表2可见，不同b值下地震荷载对地基承载力大小的影响较为接近，因此可通过地震荷载修正系数来反映地震荷载的影响。地震荷载修正系数可近似取为

对比发现，竖直向地震力和水平向地震力对地基承载力的影响是不一样的。以b=0.2时为例进行分析，当kv= 0.4，kh= 0.2时，地基承载力比kv=0.2，kh= 0.2时减小了8.7%；与kv= 0.2，kh= 0.4时与 kv= 0.2，kh= 0.2时相比，地基承载力减小了6.4%，从图5中也可以看出，当kv= 0.2，kh= 0.4时，地基最危险破坏滑面更接近于kv= 0.2，kh= 0.2时的破坏滑面，这均说明竖直向地震力对地基承载力的影响大于水平向地震力。

图7 b=0.2时不同地震力系数下地基破坏滑面示意图Fig.7 Sketch of ground failure mode under various earthquake coefficients when b=0.2

6 结 论

（1）引入统一强度理论后，静或动荷载下，随着反映中主应力作用的系数b的增加岩质地基承载力均有明显增加。现有的地基承载力计算理论没有考虑中主应力的影响，使计算结果偏于保守，不能充分发挥岩体的强度潜能。

（2）在地震荷载作用下，岩质地基的动承载力与静承载力相比有 5%～10%的降低，且岩质地基的承载力随着地震荷载的增加而降低。

（3）竖直向地震力和水平向地震力对地基承载力的影响是不同的，竖直向地震力对岩质地基承载力的影响大于水平向地震力。

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