不同建模假定下岩石损伤黏弹模型的参数转换关系探讨

方 焘，刘新荣，黄 明

（1.重庆大学 土木工程学院，重庆 400045；2.华东交通大学 土木建筑学院，南昌 330013；3.重庆大学 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆 400045；4.福州大学 土木工程学院，福州 350108）

1 引 言

目前，针对岩石蠕变本构模型的研究已经取得了较大的进展，并获得了较丰富的研究成果[1－3]。对于元件组合模型的应用，单轴蠕变试验时模型的弹性参数常选用拉压模量，而在FLAC3D软件中对三维工程进行模拟计算时一般采用剪切模量，因此，针对工程应用或三维数值计算中的需要，有必要进行一维状态下岩石蠕变模型的三维状态推广研究。通常情况下，蠕变方程由一维转化到三维时存在不同的建模思路，不同的建模思路对应的模型参数并不相同，需要建立转换关系。因此，本文将从岩石的一维损伤黏弹性模型分析入手，将其推广到复杂应力状态，建立三维状态下岩石损伤黏弹性模型，并探讨其参数的转换关系。

2 岩石的一维损伤黏弹性模型

文献[4]将 Kelvin模型和 Burgers模型进行综合，提出可描述岩石单轴蠕变特性的nBurgers模型，如图1所示，可较好地概括这两种情况，公式如下：

图1 nBurgers模型Fig.1 nBurgers model

在受到诸如含水率、温度变化以及辐射等外界条件影响时，岩石材料的变形特性将受到影响，岩石的蠕变特性将有所改变，笔者认为，在考虑岩石内部的这些外界因素对变形造成的影响时，可将其分为瞬间弹性损伤和长期蠕变损伤这一特性反映到岩石的蠕变模型中时，瞬间弹性损伤阶段将根据加载瞬间弹性模量的劣化定义瞬间弹性损伤变量，而长期蠕变损伤阶段则根据蠕变模量的劣化定义蠕变损伤变量。

（1）瞬间弹性损伤

对于损伤变量的定义，一种方法是从能量损伤中按弹性模量变化来定义的损伤变量，这种方法认为，材料性质的“劣化”是造成材料损伤的主要因素，借鉴这一思路，在nBurgers模型中，可采用描述瞬间变形特性的弹性元件的变形参数EM的劣化来定义弹性损伤D(w)，有

式中：EM(0)为初始状态的瞬间变形模量；EM(w)为受外界因素影响后的变形模量；w为含水率。

（2）长期蠕变损伤

与定义瞬间弹性损伤的思路一致，在定义长期蠕变损伤时将根据蠕变模量的变化来进行，认为初始状态下岩石处于无损状态，当外部因素影响后，岩石蠕变模量发生衰减，由此可定义蠕变损伤变量D′(w) 为

因此，对于考虑岩石的这种损伤蠕变特性研究时，在nBurgers模型基础上建立kBurgers模型，如图2所示，一维情况时，kBurgers模型蠕变方程为

图2 一维状态下的kBurgers模型Fig.2 kBurgers model in the case of one-dimensional state

若将模型参数的损伤统一成如下表达式：

由式（6）可得

将式（6）、（7）代入式（5）得 kBurgers模型一维形式为

3 不同假定下岩石损伤蠕变模型的三维推广

关于三维状态下的损伤表达式，需要由一维状态下的损伤表达式拓展而得。因此，在拓展到三维状态下时，可做出以下设定：（1）岩石损伤的主轴与主应力轴、应变主轴重合；（2）初始状态损伤为0。把蠕变本构方程扩展到三维状态，对材料的损伤不考虑材料各向异性的影响，D(w)和D′(w)拓展到三维状态分别表示为 Dijkl(w)和，各损伤主轴上的损伤度仍可采用一维状态下损伤度的求法。

3.1 常泊松比假定建模方法

朱伯芳[5]在研究复杂应力和边界条件下黏弹性介质中的应力和位移与其边界条件的联系时，先后提出3个与弹性体相对应的定理，其中第1、第3定理中都是假定蠕变泊松比保持常数且等于弹性泊松比，即 μ(t′)=μ(t,t ′)=μ=常数。

由一维到三维过程，考虑常泊松比条件也存在两种方法[6]，第1种就是从拉压状态的蠕变方程直接推广到三维状态，此时模型参数为拉压蠕变参数，与无任何假定时一维拉压蠕变参数是一致的；还有一种是通过黏弹性力学中的对应性原理，通过流变本构方程的拉普拉斯变换和逆变换得到对应的三维蠕变方程，此时模型中的参数为剪切蠕变参数，与无任何假定时一维剪切蠕变参数是一致的[7]。

3.1.1 组合模型弹性参数选用拉压模量

三维应力情况下，考虑材料各向同性的标准线性固体弹性应力-应变关系可表示为[8]

式中：[U]为泊松比的常系数矩阵，表达式为

考虑到黏弹性模型的流变特性，由流变本构方程利用微分算子代换[9]并求解微分方程后得到蠕变方程的基本形式：

对于nBurgers模型，则有

式中：EM、E0、ηk和ηM都是一维拉压情况下对应的模型参数；开关函数在一维情况下可用H(σ-σk)来表示，而在三维情况下则可用表示：

把式（6）、（7）代入式（12）可得

将式（14）改写为张量形式：

3.1.2 组合模型弹性参数选用剪切模量

若一维情况下模型参数通过蠕变剪切试验得到，则模型参数将采用一维剪切蠕变试验参数，因此，可将模型参数的损伤统一成如下表达式：

故由式（16）可得

结合文[8]在常泊松比假定下黏弹性体的三维建模思路，若模型参数采用剪切蠕变试验获得（如图3所示），则推导可得kBurgers模型的三维张量形式：

式中：μ*为考虑含水影响的泊松比。

因此，基于两种假定条件下的单轴拉压蠕变方程可分别通过式（15）和（18）进行变换得到：

图3 常泊松比假定下的kBurgers模型Fig.3 kBurgers model in the case of static Poisson′s ratio

3.2 常体积模量假定建模方法

物体内一点的应力状态，可用应力张量表示，即等于体应力张量和偏应力张量之和[11]：

将模型的总应变 εij(t)分解为由偏应力引起的偏应变 eij(t)和体应力产生的体应变εm(t)，即

常体积模量假定，即假设黏弹性变形只发生在剪切变形方面，体积变形是弹性的，且假定蠕变过程中体积模量保持常数且等于弹性变形时的体积模量，即 K(t′)=K(t,t′)=K 为常数。

弹性状态下：

则根据黏弹性问题的对应性原理，黏弹性状态下有：

式中：J′(t)为蠕变柔量；K为体积模量。

将式（24）代入式（22），得到三维状态下nBurgers模型蠕变方程的张量形式：

同理，若考虑损伤效应，参数的损伤同样可以统一表示为

υ(w)和υ′(w)分别为常体积模量建模假定下的弹性损伤变量和蠕变损伤变量。

由式（27）可得：

如图4所示，将式（27）、（28）代入式（26）得kBurgers模型的三维张量表达式：

同样给出单轴拉压蠕变情况下的方程，则由式（29）可得：

图4 常体积模量假定下的kBurgers模型Fig.4 kBurgers model in the case of constant bulk modulus

3.3 各种处理方法模型参数的关系及损伤规律

比较式（8）、（19）、（20）和式（30）可知，不同假定情况下蠕变方程的形式有所不同。常规建模方式与常泊松比假定下模型的一维蠕变方程完全相同，式（8）和式（19）的方程形式及参数一致，说明若模型参数在一维和三维状态下始终选用拉压模量，则不考虑任何假定的常规建模方式实质上就是常泊松比假定。

若对同一单轴压缩条件下的蠕变试验结果，分别用常泊松比和常体积模量假定下的模型对其进行描述时[6]，则有：

式中：ε1(t)、ε2(t)、ε3(t)分别对应常规建模、常泊松比和常体积模量时的蠕变应变。

于是，常体积模量和常泊松比条件下模型的参数也存在以下对应关系：

式（32）说明，虽然选定的都是一维状态，但在不同假定条件下组合模型的参数是不相同的。在常泊松比假定下，模型参数需在常规建模的基础上乘以因子 1/[2(1+μ*)]；常体积模量假定下，不同参数的乘积因子各不相同。

若一维和三维蠕变方程使用的模型参数完全相同，则黏性参数的换算关系也就是常规方式与三维状态中添加不同假定时黏性参数所需的换算关系，这与习惯上将一维模型的黏性参数直接运用于三维状态，保持其值不变的做法是不同的。然而，模型参数的这些转换做法有时也会造成一定的混乱。比较合理的解决方法，一是直接使用包含常体积模量假定的蠕变方程来处理试验数据，从而保证一维和三维应力状态的一致性，避开模型参数转换；二是仍采用常规建模方式来处理蠕变试验数据，然后利用不同假定下模型参数的变换关系，实现常规建模方式的假设化。

值得思考的是，对于一维拉压参数转换至剪切参数时，需要获得不同状态下泊松比μ的大小，从而在拉压蠕变参数转换成剪切蠕变参数时，求解剪切蠕变参数的损伤方程还应考虑泊松比的影响。因此，在模型参数转换关系中涉及到泊松比μ时，模型参数的损伤表达式也会变化。例如，反映瞬间弹性变形的参数有如下计算式：

又有，

则由式（33）、（34）可得到以下关系：

式中：μ为初始状态的泊松比；μ*受外部因素影响后的泊松比。同理可得到模型中其他参数的损伤变量关系式。

4 算例分析

文献[4]针对 T2b2泥质粉砂岩进行了不同加载等级对应不同含水状态下单轴蠕变试验研究，探讨了泥质粉砂岩在考虑含水率w变化对岩石蠕变特性的影响，得到了瞬间弹性损伤演化方程：

以及长期蠕变损伤演化方程：

并分析得到了模型三维格式中开关函数的统一表达式：

式中：σ1、σ3分别为最大、最小主应力。

因此，按照以上3种建模方式，不同含水条件下泥质粉砂岩蠕变加载荷载为32 kN时对应的模型参数如表1所示。

表1 3种不同建模方式下不同含水状态对应kBurgers模型参数反演结果Table1 Parameters of kBurgers model with different moisture contents using three different modeling approaches

常泊松比情况下，参数的损伤变量表达式与常规建模情况相比有下式：

常体积模量假定下有

因此，将试验得到的泥质粉砂岩不同含水率情况下泊松比μ及不同含水情况下的损伤变量D(w)和D′(w)数值代入式（39）和式（40）得到的计算结果见表2所示。由计算结果可知，蠕变方程的参数随含水率变化的变化规律有所不同，因而损伤演化规律也不同。对常体积模量假定下模型参数随含水损伤的演化规律进行分析，结果如图5、6所示。

得到常体积模量假定下弹性损伤变量方程为

长期蠕变损伤变量方程为

表2 不同含水条件对应kBurgers模型损伤变量Table2 Damage variables of kBurgers model with different moisture contents

图5 υ(w)与w关系回归分析结果Fig.5 Regression analysis of υ(w)and w

图6 υ′(w)与w关系回归分析结果Fig.6 Regression analysis of υ′(w) and w

5 结 论

（1）将考虑岩石内部含水率变化、温度变化以及辐射等外界因素对变形造成的影响定义为一种损伤，且包括瞬间弹性损伤和长期蠕变损伤。并根据加载瞬间弹性模量的劣化定义瞬间弹性损伤变量，根据蠕变模量的劣化定义蠕变损伤变量，由此建立考虑损伤的kBurgers模型。

（2）假定泊松比μ为常量，从一维拉压状态的蠕变方程入手，转换得到了常泊松比假定的三维表达式；考虑体积模量K为常数，将黏弹性体的总应变 εij(t )分解为由偏应力引起的偏应变 eij(t)和体应力产生的体应变εii，推导得到了常体积模量的三维表达式。通过对不同假定建模方法得到的模型参数与常规建模模型参数之间的换算关系进行研究，表明不同参数间的换算关系有所不同。

（3）结合算例，对常体积模量假定下模型参数随含水率变化的损伤演化规律进行了分析，计算得到了常体积模量假定下模型的瞬间弹性损伤和长期蠕变损伤演化方程，且检验了不同假定下模型参数间转换关系的有效性。

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