用Cauchy-Schwarz不等式推证坐标和动量的不确定度关系

谢勇

（大理学院工程学院，云南大理 671003）

用Cauchy-Schwarz不等式推证坐标和动量的不确定度关系

谢勇

（大理学院工程学院，云南大理 671003）

介绍利用Cauchy-Schwarz不等式及厄米算符的性质推证坐标和动量的不确定度关系的方法，并对该不确定度关系进行分析讨论，得到当波函数为高斯函数时，坐标和动量的不确定度关系将取等式形式的结论。

Cauchy-Schwarz不等式；坐标；动量；不确定度关系；厄米算符

不确定度是我们最为熟悉的一个量子现象，其形式基本是用标准差来表示的〔1-2〕。如坐标和动量的不确定度关系为

这里坐标和动量的标准差是通过量子态为ψ的粒子束的衍射来测定的。中子的干涉测量实验证实了坐标和动量这种不确定度关系〔3〕。

对广义不确定度关系的推导有很多方法〔4-5〕。本文将介绍利用Cauchy-Schwarz不等式和厄米算符的特性来推证坐标与动量的不确定度关系的方法，希望对同仁的量子力学教学提供一个参考。

1 Cauchy-Schwarz不等式的证明

设函数（fx）和g（x）在空间τ内连续，并定义力学量算符I为：

式中λ为一实常数。令

则（2）式展开为：

由（2）式可知，积分I在空间的任意点都必定为非负，即I≥0。所以，当且仅当λ（fx）+g（x）在空间各点都为零时，I=0，所以

由于λ为实数，故不等式（5）有实根的条件是

也就是说，

这就是Cauchy-Schwarz不等式。该不等式在很多领域都有应用，如线性代数的矢量运算，数学分析中无穷级数和乘积的积分，以及概率论的方差和协方差分析等〔6-7〕。

2 Cauchy-Schwarz不等式的量子力学形式

当系统处于量子态ψ（ψ为归一化的波函数）时，两个力学量算符A和B的期望值可表示为

两个力学量算符的不确定度〔8〕为

令

则（7）式的Cauchy-Schwarz不等式左边等于

式中〔A，B〕为厄米算符A、B的対易式。由（11）式和（12）式可得Cauchy-Schwarz不等式的量子力学形式为

3 坐标和动量的不确定度

又因为〔x，px〕=-iħ，所以（13）式等于

由于ψ是归一化的波函数，所以∫ψ*ψdτ＝1，于是

这就是坐标和动量的不确定度关系。

4 讨论

当坐标和动量的平均值均为零时（如一维谐振子），根据（10）式和（14）式有

由（2）式可知，当λ（fx）+g（x）=0时，（17）式将变为等式，所以（17）式取等式的条件是

解为

〔1〕Heisenberg W.Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik〔J〕.Physics，1927，43（3-4）：172-198.

〔2〕Heisenberg W.The Physical Principles of the Quantum Theory〔M〕.Chicago：University of Chicago Press，1930.

〔3〕Kaiser H，Werner S A,and George E A.Direct Measurement of the Longitudinal Coherence Length of a Thermal Neutron Beam〔J〕.Physics Review Letter，1983，50（8）：560-563.

〔4〕王立志，柳盛典.不确定关系的广义表达式〔J〕.鲁东大学学报：自然科学版，2009，25（4）：337-340.

〔5〕俞伟钧.不确定关系的简明推导与正确理解〔J〕.盐城工学院学报：自然科学版，2006，19（1）：71-72.

〔6〕Obada A S F，Salah H H,Darwish M A,et al.Generalized Trio Coherent States〔J〕.International Journal of Theoretical Physics，2005，44（9）：1347-1364.

〔7〕Ramasinghe W.The Cauchy-Schwarz inequality and the induced metrics on real vector spaces mainly on the real line〔J〕. International Journal of Mathematical Education in Science&Technology，2005，36（1）：35-41.

〔8〕曾谨言.量子力学教程〔M〕.北京：科学出版社，2008.

Derivation of Position and Momentum Uncertainty Relation with Cauchy-Schwarz Inequality

XIE Yong
（College of Engineering,Dali University,Dali,Yunnan 671003,China）

This paper introduces the derivation of position and momentum uncertainty relation from Cauchy-Schwarz inequality and the properties of Hermitian operator,and discusses this uncertainty relation.For a Gaussian wave function,the inequality of uncertainty relation will hold equality sign.

Cauchy-Schwarz inequality;position;momentum;uncertainty relation;Hermitian operator

O413.1［文献标志码］A［文章编号］1672-2345（2012）04-0025-03

中德科学基金项目（GZ585）

2011-09-15

谢勇，副教授，主要从事理论物理和生物医学工程学教学与研究.

（责任编辑 袁 霞）