一种双参数指权平均

符云锦

（凤凰县两林学区，湖南凤凰 416211）

一种双参数指权平均

符云锦

（凤凰县两林学区，湖南凤凰 416211）

首先定义了双参数指权平均，然后讨论其单调性得到了一些结论，并利用这些结论导出一系列平均和不等式。

双参数平均；单调性；不等式

1 定义

定义1.1 若ai，bi＞1（i＝1，2，…，n），带参数s和t的双参数指权平均定义为

本文探究Za，b（s，t）关于参数s和t的单调性，并发现它本身包含有许多著名的平均，同时利用其单调性导出了许多不等式。

2 引理

引理2.1 若ai，bi＞0（i＝1，2，…，n）,则

于是当x＞0时，f（x）是下凸函数,根据詹生不等式〔1-2〕，得

引理2.2〔3〕若ai＞0（i=1，2，…，n），则函数

为增函数。

证明:见文献［3］。

3 主要结论

定理3.1 双参数指权平均Za，b（s，t）关于参数s是递增的。

证明:(为了简便，Za，b（s，t）简记为Z)

两端取自然对数并对其求导，得

于是，当s≠0时，Za，b（s，t）关于参数s是递增的。

又由洛必达法则（L’Hospital）［4-5］易知

故双参数指权平均Za，b（s，t）关于参数s是递增的。

定理3.2 若ai，bi＞0（i=1，2，…，n），则

（Ⅰ）当0＜ai＜1,0＜bi＜1或ai＞1，bi＞1或s=0时,Z关于参数t递增；

（Ⅱ）当0＜ai＜1,bi＞1或ai＞1，0＜bi＜1且s≠0时,Z关于参数t递减；

（Ⅲ）当bi=1时,Z关于参数t不变。

证明:当s=0时,由引理2.2可知，Z关于参数t递增；

当bi≠1时,判定λ的符号如下：

由引理2.2知，若s≠0时,则当λ与s同号时，Z't≥0；当λ与s异号时，Z't≤0,即定理中(Ⅰ)、(Ⅱ)成立。

当bi=1时，双参数指权平均变为幂平均，即：

与t无关，即(Ⅲ)成立。

综上所述，定理3.2得证。

定理3.3 若ai＝bi（i=1，2，…，n）时，则Z关于参数s，t均递增。

证明:由ai＝bi，则

为一种双参数平均［3］，具体证明见文献［3］。

定理3.4 若s1≤s2，则Za,b（s1，t）≤Za,b（s2，t）。

证明:根据定理3.2可知Za,b（s1，t）≤Za,b（s2，t）。

4 应用

4.1 应用双参数指权平均导出许多著名平均

（1）当ai＝bi时，可以引出许多著名的平均，见文献［3］。

（2）令t＝1，则可得到加权幂平均［6-13］，即Hölder’s平均：

特别的，当bi=1（i=1，2，…，n）时，Za,b（s，1）为幂平均［14］。

4.2 应用双参数指权平均的性质导出新的不等式

（1）若ai，bi＞0时，由定理3.1可得

（2）若0＜ai＜1,0＜bi＜1,时，由定理3.2可得

（3）若ai＞1,0＜bi＜1,且s≠0时，由定理3.2可得

根据本文的结果，还可以导出许多不等式，这里不再赘述。

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〔14〕匡继昌.常用不等式〔M〕.2版.长沙：湖南教育出版社，1993：49.

A Two-parameter Defining Weighted Average

FU Yunjin
（Lianglin School District of Fenghuang，Fenghuang,Hunan 416211,China）

This article refers to two-parameter defining the weighted average,and then discusses its monotonicity.Finally some conclusions are summarized,which are used to derive many averages and inequalities.

two-parameter mean；monotony；inequality

O178［文献标志码］A［文章编号］1672-2345（2012）04-0001-04

2011-04-21

2011-05-08

符云锦，主要从事初等数学、分析学及其应用、微分方程、教育理论及其应用研究.

（责任编辑 袁 霞）