弱投射模与相伴弱投射模＊

李剑华， 陈淼森

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

弱投射模与相伴弱投射模＊

李剑华， 陈淼森

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

引进了弱投射模的概念，并在弱投射模上讨论了Schanuel引理;同时，在弱投射模上定义了弱投射维数及弱整体维数，给出了弱投射维数为0和1时对模的刻画;最后，在弱投射模的基础上定义了相伴弱投射模，并得到相伴弱投射模的一些性质.

弱投射模;相伴弱投射模;弱投射维数;相伴弱投射维数;Schanuel引理

0 引言

投射模是同调代数与模论中的主要研究对象之一，对投射模及其性质的深入研究是模论里的重要问题.在对投射模的推广得到新的模类的研究过程中，人们通常可以更深刻地认识投射模的内在结构.近年来，人们对投射模做了很多推广［1-3］.本文受到(P，M)-投射模定义［4］的启发，定义了弱投射模，并在此基础上定义了弱投射维数，讨论了弱投射维数为0和1的模的性质;同时在弱投射模上讨论了Schanuel引理等一些性质.

本文所涉及到的环R是有单位元的结合环，模均为左幺 R-模.相关概念及符号参阅文献［5-6］.

1 弱投射模

定义1设P，M，N为 R-模.若存在0≠g∈HomR(M，N)，使得对于任意的 f∈HomR(P，N)且Im f⊆Im g，都有 h∈HomR(P，M)，使 f=gh 成立，即有如图1所示的交换图，则称P为M-弱投射模，g为P与N的相伴同态.

图1 交换图1

定义2若对于任意的R-模M，R-模P都是M-弱投射模，则称P为弱投射模.

显然，投射模为弱投射模.

Schanuel引理在模论研究中占有很重要的地位，笔者将在弱投射模上给出Schanuel引理.

定理1设 K1，K2，M 均为 R-模，P1，P2均为M-弱投射模，α∈HomR(P1，M)为 P2与 M 的相伴同态，β∈HomR(P2，M)为 P1与 M 的相伴同态，且有如下行正合列：

则 K1⊕P2≅K2⊕P1.

证明 由定理 1的假设知 α∈HomR(P1，M).由于α，β均为满同态，显然 Imα =Im β.因为 P1为 M-弱投射模，所以存在 f∈HomR(P1，P2)，使得 α = βf.同 理，存在 f'∈HomR(P2，P1)，使得 β =αf'.直接由图追踪法知，必有 g ∈HomR(K1，K2)，g'∈HomR(K2，K1) 使图2可交换.

图2 交换图2

如图3 所示，设 α1∈HomR(K1，K1⊕P2)，α2∈HomR(P2，K1⊕P2)∈HomR(K2，K2⊕P1)，∈HomR(P1，K2⊕P1)都为标准内射.由直和的泛性质知，必有 R-模同态 φ：K1⊕P2→K2⊕P1.同理，存在 R-模同态 φ'：K2⊕P1→K1⊕P2，使得图3可交换，即 φα2='，φα1=，φ'= α2f，=α1g'.再由直和泛性质所述的唯一性知φφ'=IK2⊕P1，φ'φ =IK1⊕P2.故 φ 为同构，即 K1⊕P2≅K2⊕P1.定理 1 证毕.

图3 交换图3

定理2设P若 P为弱投射模，则Pi(i∈I)为弱投射模.

证明 任取 i∈I，如图4所示，设 λi∈HomR(Pi，P)为标准内射，ηi∈HomR(P，Pi)为标准投射.若存在g∈HomR(M，N)对任意的同态f∈HomR(Pi，N) 满 足 Im f⊆ Im g，令 φ =fηi∈HomR(P，N)，则Im φ =Im fηi⊆Im f⊆Im g.因为P为弱投射模，所以存在 h∈HomR(P，M)，使得φ=gh.再令h'=hλi∈HomR(Pi，M)，有 gh'=ghλi=φλi=fηiλi=f，故 Pi为弱投射模.定理 2 证毕.

图4 交换图4

由文献［1］知，对于任意的R-模M必有投射分解，故有以下引理：

引理1对于任意的R-模M，都有R-模正合列，

其中：Pi为弱投射模;i=0，1，2，….

于是可得如下定义：

定义3对于R-模M，若Pi(i=0，1，…，n)为弱投射模，则称正合列…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0为M的一个弱投射分解.记M的弱投射维数为 Wlpd(M)=inf{n∈N|0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0};当 n不存在时，规定Wlpd(M)=∞.记 WlpD(R)=sup{Wlpd(M)|M为任意的R-模}为环R的弱整体维数.

定理3设M为R-模，则以下结论成立：

1)Wlpd(M)=0⇐⇒M为弱投射R-模;

2)Wlpd(M)≤1⇐⇒存在P0，P1为弱投射模，使得M≅P0/P1;

3)WlpD(R)=0⇐⇒每个R-模都是弱投射模.

证明 1)对于任意的R-模M，由弱投射维数的定义知Wlpd(M)=0⇐⇒存在弱投射模P0，使得0→P0→M→0为M的弱投射分解⇐⇒M≅P0.因此，M也为弱投射模.

2)Wlpd(M)≤1⇐⇒存在P0，P1为弱投射模，有正合列0→P1→P0→M→0⇐⇒M≅P0/P1.

3)由弱整体维数的定义知WlpD(R)=0⇐⇒对于任意的R-模M，有Wlpd(M)=0，由1)可知这又等价于一切R-模都是弱投射模.

定理3证毕.

若P是投射模，对于给定的同态g：M→N，从P到N的任意同态都能提升到M，但当P是弱投射模时，以上结论不成立.下面对弱投射模定义中的能进行提升的同态组成的集合进行讨论.

定理4设P为弱投射模，g：M→N为P到N的相伴同态，令 H=HomR(P，M)，则gH={f|Im f⊆ Im g，f∈ HomR(P，N)}.

证明 对于任意的同态f=gh∈gH，因为Im f=Im gh⊆ Im g，

所以 f∈{f|Im f⊆Im g，f∈HomR(P，N)}，从而gH ⊆ {f|Im f⊆ Im g，f∈ HomR(P，N)}.

因为P为弱投射模，所以{f|Im f⊆ Im g，f∈HomR(P，N)}⊆ gH，故

gH={f|Im f⊆ Im g，f∈ HomR(P，N)}.定理4证毕.

2 相伴弱投射模

根据定义1，如果 P'也是M-弱投射模，那么存在g'：M→N为P'与N的相伴同态，使得f'=gh'.一般来说，P'与N的相伴同态g'和P与N的相伴同态g不一定相同.现在考虑相同的情况，有以下定义：

定义 4［7］设 P，P'，M，N 均为 R-模.若存在0≠g∈HomR(M，N)，使得对于任意的 f∈HomR(P，N)且 Im f⊆Im g，对任意的同态 f'∈HomR(P'，N)且 Im f'⊆Im g，都有 h∈HomR(P，M)，h'∈HomR(P'，M)，使 f=gh，f'=gh'成立，则称P与P'为相伴的M-弱投射模.

定义5若对于任意的 R-模 M，弱投射模P1，P2，…，Pn都具有相同的相伴同态，则称 P1，P2，…，Pn互为相伴弱投射模.

定理5设弱投射模则 P 与 Pi(i∈I)为相伴弱投射模.

证明 设 g为 P与 N的相伴同态，λi∈HomR(Pi，P)为标准内射，ηi∈HomR(P，Pi)为标准投射，下证g为Pi与N的相伴同态.对任意的同态 fi∈HomR(Pi，N)，满足 Im fi⊆Im g，令 φ =fiηi∈HomR(P，N)，且 Im fiηi⊆Im fi⊆Im g.因为P为弱投射模，所以存在h∈HomR(P，M)，且φ=gh.再令 φ =hλi∈HomR(Pi，M)，则 gφ =ghλi=φλi=fiηiλi=fi，所以 g 为 Pi与 N 的相伴同态，故P与Pi为相伴弱投射模.定理5证毕.

定理6设P.若 P1，P2，…，Pn为相伴弱投射模，则P为弱投射模.

图5 交换图5

证明 如图5所示，设 λi∈HomR(Pi，P)为标准内射，ηi∈HomR(P，Pi)为标准投射.因为 P1，P2，…，Pn为相伴弱投射模，所以存在一个相同的相伴同态 g∈HomR(M，N).对∀α∈HomR(P，N)且 Im α⊆Im g，令 φ = αλi∈HomR(Pi，N)，则有Im φ =Im αλi⊆Im α⊆Im g.因 Pi为弱投射模，故存在 hi∈HomR(Pi，M)，使得 φ =ghi.由直和的泛性质知，存在同态 h：P→M，使得 hλi=hi成立，则αλi=ghi=ghλi.再由直和泛性质唯一性知，α=gh，所以P为弱投射模.定理6证毕.

由定理5和定理6可得以下推论：

推论1若P，P为弱投射模的充分必要条件是P1，P2，…，Pn互为相伴弱投射模.

推论2若 P1，P2为相伴弱投射模，则 P1，P2，P1⊕P2互为相伴弱投射模.

证明 设g：M→N为P1，P2的相伴同态，λi，ηi分别为标准内射、标准投射.下证g为P1⊕P2与 N 的 相 伴 同 态.对 任 意 同 态 f∈HomR(P1⊕P2，N)且 Im f⊆Im g，令 φi=fλi，则Im φi⊆Im f⊆Im g.又因为 Pi为相伴弱投射模，且g为其相伴同态，所以存在hi∈HomR(Pi，M)，(i=1，2)，使得 φi=ghi.令 h=h1η1+h2η2∈HomR(P1⊕P2，M)，则

故g也是P1⊕P2与N的相伴同态，所以P1，P2，P1⊕P2互为相伴弱投射模.推论2证毕.

推论3若模正合列0→A→B→C→0可裂，则B是弱投射模当且仅当A，C是相伴弱投射模.

定义6对于 R-模 M，若 P1，P2，…，Pn互为相伴弱投射模，则称…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0为M的一个相伴弱投射分解.记M的相伴弱投射维数为Awlpd(M)=inf{n∈N|0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0};当 n 不存在时，规定 Awlpd(M)=∞;记 AwlpD(R)=sup{Awlpd(M)|M为任意R-模}为环R的相伴弱整体维数.

类似地可得以下定理：

定理7设N为R-模，则有以下结论：

1)Awlpd(N)=0⇐⇒N为弱投射R-模.

2)Awlpd(N)≤1⇐⇒存在相伴弱投射模P0，P1，使得N≅P0/P1;

3)AwlpD(R)=0⇐⇒每个R-模都是相伴弱投射模.

命题1设 K1，K2，M 均为 R-模，P1，P2为相伴弱投射模，fi∈HomR(Ki，Pi)为单同态，且有如下正合序列：

则 K1⊕P2≅K2⊕P1.

证明 因为 P1，P2为相伴弱投射模，所以P1，P2必为弱投射模，且存在相同的相伴同态，有Im α =Im β.因此，K1，K2，P1，P2满足定理 1 的条件，所以 K1⊕P2≅K2⊕P1.命题1 证毕.

［1］Ahmad S.n-injective and n-flat modules［J］.Comm Alg，2001，29(5)：2039-2050.

［2］Bharadwaj P C.Small pseudo projective modules［J］.International Journal of Algebra，2009，3(6)：259-264.

［3］Kumar V，Gupta A J，Pandeya B M，et al.M-SP-projective modules［J］.International Journal of Algebra，2011，5(12)：563-568.

［4］张龙.弱内射模与弱内射维数［J］.河海大学学报：自然科学版，2003，31(4)：482-484.

［5］佟文廷.同调代数引论［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［6］Anderson F W，Fuller K R.Rings and categories of modules［M］.New York：Springer-Verlag，1974.

［7］薛先贵，陈焕艮.相伴弱内射模［J］.湖南师范大学学报：自然科学版，2007，30(1)：10-13.

Weak projective module and adjoint weak projective module

LI Jianhua，CHEN Miaosen

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

It was extended the concept of weak projective module and introduced the concept of weak projective module，the Schanuel lemma on weak projective module was discussed，the weak projective dimension and weak global dimension was defined，and the characteristics of the modules were discussed for weak projective dimension 0 and 1.Based on the weak projective module，the adjoint weak projective module was introduced and some properties of the adjoint weak projective module were obtained.

weak projective module;adjoint weak projective module;weak projective dimension;adjoint weak projective dimension;Schanuel Lemma

O153

A

2012-04-09

浙江省自然科学基金重点资助项目(Z6090150)

李剑华(1987－)，男，浙江临海人，硕士研究生.研究方向：代数学.

1001-5051(2012)03-0267-04

(责任编辑 陶立方)