深度缓变矩形槽中的孤波

王 艳

（长治学院 电子信息与物理系，山西 长治 046011）

水槽中的孤波是非线性科学中的一个典型现象，很多学者对非传播孤波的理论和实验都做了积极的探讨[1-12]。关于水槽中孤波的相互作用，除了吴君汝等的实验发现外，一些文献还用不同方法给出了两同振幅孤波相互作用的理论分析，同相孤波相互吸引而周期性的合并，反相孤波相互排斥而远离[8-10]。有关不同振幅孤波的相互作用，则讨论很少。另外，吴君汝等的实验发现：当水槽沿长度方向略微倾斜时，孤波将沿着浅水方向移动，而且文献[11]从能量观点出发对此做出了分析和估计。

本文是在不考虑外加驱动的情况下，对深度缓变矩形槽中的非传播表面孤波的演化做了一些讨论，主要针对槽底部倾斜和槽底部呈余弦变化这两种情况，得到了一些有意义的结论。不考虑外加驱动的情况下，深度缓变矩形槽中非传播性表面孤波满足的非线性薛定谔方程为[12]：

为了简化方程，进行无量纲变换，令 x′=x/2c2，t′=x/4ωc2，A′=，f（x）=-2c2F（x），略去上标“′”，得到深度缓变矩形槽中，孤波满足的无量纲化的非线性薛定谔方程：

其中 A（x，t）表示表面波包络，f（x）是槽底缓变函数。

1 底部倾斜的矩形槽中的孤波

我们考虑深度缓变矩形槽中槽底倾斜时的情况，即：

其中b为槽底的斜率，b＞0意味着沿x正方向槽变浅。此方程的精确解为[13,14]：

其中 θ=μ（x-0.5bt2+x0），φ=-btx+0.5（b2t3/3-μ2t）+φ0，μ，b，x0，φ0是实常数。精确解中 μ 与孤波宽度有关，x0是孤波移动的初始点，x0是初相位，孤波移动的速度是时间的函数为bt，加速度为b，若b=0，孤波将停留在原地。若b＞0，孤波则沿浅水方向加速移动，通过改变参数b的值，即通过调节槽底的倾斜度，可以控制孤波的移动速度。从图1（a）中我们可以看到当槽底沿x正方向向上倾斜，即b＞0时，非传播性孤波是沿x正方向，即浅水方向移动的。从图1（b）中我们可以看到当槽底不倾斜，即b=0时，非传播性孤波将停留在原地。图2显示了槽底倾斜时两个同振幅的非传播性孤波移动过程中的相互作用情况：从图2（a）可以看到两个振幅和宽度相同的同相孤波在移动过程中相互吸引而周期性的合并；从图2（b）可以看到两个振幅和宽度相同的反相孤波在移动过程中相互排斥而远离。图3显示了槽底倾斜时两个不同振幅的非传播性孤波移动过程中的相互作用情况。我们可以看到，同相和反相的两孤波在移动过程中都将保持相对距离不变。数值模拟显示了两个不同振幅的非传播性孤波的相互作用比同振幅的要弱。

图1 槽底倾斜时非传播性孤波的移动。参数选取分别为：μ=1，x0=0，φ0=0，（a）b=0.1，（b）b=0。

图2 槽底倾斜时两振幅相同的非传播性孤波的相互作用。参数选取分别为：μ=1，φ0=0，b=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2）+sech（x-2），（b）反相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2）-sech（x-2）。

图3 槽底倾斜时两振幅不同的非传播性孤波的相互作用。参数选取分别为：μ=2，φ0=0，b=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=2sech［2（x+2）］+sech（x-2），（b）反相孤波相互作用 A（x，0）=2sech［2（x+2）］-sech（x-2）。

2 底部呈余弦变化矩形槽中的孤波

我们考虑深度缓变矩形槽中槽底呈余弦变化的情况，即：

此时方程（3）没有精确的孤波解，我们考虑如下初始波形：

其中η与孤波的宽度有关，图4显示了槽底部呈余弦变化时波形（7）的演化情况，从图4中我们看到ε取值较小时波形（7）是稳定的。事实上，当槽底缓变函数f（x）=0时，方程（3）就简化成了标准的非线性薛定谔方程。众所周知，标准的非线性薛定谔方程的精确孤波解的初始形式为（7）式，由于考虑到矩形槽底是做微小的变化，即槽底缓变函数f（x）中参量ε＜＜1，可认为在非线性体系（6）下的方程（3）是精确可积的标准的非线性薛定谔方程的周期横向微扰形式。图5显示了槽底呈余弦变化时两非传播性孤波的相互作用，只要选取合适的参数两同相孤波将不会出现周期性合并，两反相孤波也不会远离。

图4 槽底部呈余弦变化时孤波的演化。参数选取分别为：η=1，ω=1，（a）ε=0.05，（b）ε=0。

图5 槽底呈余弦变化时两非传播性孤波的相互作用。参数选取分别为：η=1，ω=1，ε=0.05，（a）同相孤波相互作用 A（x，0）=sech（x+2.6）+sech（x-2.6），（b）反相孤波相互作用 A （x，0）=sech（x+2.6）-sech（x-2.6）。

本文是在不考虑外加驱动的情况下，讨论了深度缓变矩形槽中底部倾斜和底部呈余弦变化时非传播性孤波的演化情况，分析了槽底部倾斜时非线性薛定谔方程的精确解，从而得到了孤波向浅水方向移动的结论，与吴君汝的实验和文献[11]的结论是一致的。还进一步讨论了两孤波相互作用的情况，得到的结论与槽底部不倾斜的情况一样，即：两个同振幅和同宽度的同相孤波相互吸引而周期性的合并，反相孤波相互排斥而远离；数值模拟显示了两个不同振幅的非传播性孤波的相互作用比同振幅的要弱。我们期待能从理论上对此作出分析。对于槽底部呈余弦变化情况，此时非线性薛定谔方程是不可积的，没有精确解，我们取了方程近似解的初始形式进行数值模拟，得到此近似解的初始波形在演化过程中是稳定的。对两孤波相互作用，得到了与槽底是平面时不一样的结论，只要选取合适的参数，两同相孤波将不会出现周期性合并，两反相孤波也不会远离，而是处于一种相持状态。

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