一个习题的注记

王颖俐，王慧群，王 鑫

（1.长治学院 数学系，山西 长治 046011；2.长治县第一中学，山西 长治 047100）

秩为1的矩阵的结论看似很浅显，其实它的应用很广泛。

习题［1］设A是一个n×n矩阵，r（A）=1。

这个习题是选自王萼芳、石生明所编写的《高等代数》（第三版）中第四章补充题第1题。这个习题的结论形式很简单，但是由该习题所引发的思考是源源不断的。文章就从该习题出发，讨论了该习题的两个应用：一个是一致矩阵；一个是二维离散型随机变量独立性的矩阵刻划。

1 一致矩阵

定义1：正互反矩阵［2］

对任意两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对目标层的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量aij.于是，可得到两两成对比较矩阵A=（aij）n×n，又称为判断矩阵，显然 aij＞0，aij=，aij=1（i，j=1，2，…，n）.

因此，又称判断矩阵为正互反矩阵.

定义 2：一致矩阵［2］

一般地，如果一个正互反矩阵A满足aijakj=aij（i，j，k=1，2，…，n），则称 A 为一致性矩阵，简称为一致阵.

一致矩阵具有以下性质：

性质2矩阵A的各行成比例，且r（A）=1.

从而可得矩阵A的各行成比例，且r（A）=1

性质3 矩阵A的转置AT也是一致矩阵，且

性质4 若矩阵A为一致矩阵，则：

性质5 矩阵A的最大特征根为λ=n，其余n-1个特征根均等于0.

性质6 矩阵A的任一列（行）都是对应于特征根n的特征向量.

证明：（1）先证列成立

因此，矩阵A的任一行都是对应于特征根n的特征向量.

（2）再证行成立

由于一致矩阵A还可以表示为：

因此，矩阵A的任一列都是对应于特征根n的特征向量.

2 二维离散型随机变量独立性的矩阵刻划

设（X，Y）是二维离散型随机变量[4]，X 与 Y 相互独立，（X，Y）的联合分布律为

设X、Y的边际分布律分别为：

由X与Y相互独立，得

即：pij=pi.pji，j=1，2，…，n.

（X，Y）的联合分布律为：

其对应的矩阵A为：

因此，A的各列成比例，从而r（A）=1，且

这说明若二维随机变量X与Y相互独立，则由（X，Y）的联合分布列所构成的矩阵A的秩为1，且其行列式为0.

反过来，若已知（X，Y）的联合分布列所构成的矩阵A的秩为1，则A的任意二阶以上的子式都为零，从而：

从而得X与Y相互独立.

因此我们可以得到二维离散型随机变量（X，Y）独立的充要条件是（X，Y）的联合分布列所构成的矩阵A的秩为1.

［1］王萼芳，石生明.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］韩中庚.数学建模方法及其应用（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］吴文江.一致性正矩阵的一个性质的另一证法［J］.山东建材学院学报，1995，9，10（3）:65-66.

［4］韩旭里，谢永钦.概率论与数理统计（修订版）［M］.上海：复旦大学出版社，2006.