若干非线性偏微分方程的守恒律

白玉梅

（内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043）

0 引言

构造微分系统的守恒律是数学物理研究的重要课题.守恒律反映物理量不随时间而改变的现象，在研究微分系统，尤其是可积系统和孤立子理论中发挥重要作用[1］.如利用守恒律获得微分系统的精确解、分析解的各种特性和构造Hamilton系统等.一般情况下，如果一个微分系统有孤立子解，则其存在无穷多个守恒律，拥有无穷多个守恒律的非线性微分系统可积；然而，没有无穷多个守恒律的微分系统仍可能可积，如Burgers方程.除此之外，守恒律被广泛应用于一些数值方法的发展上，如有限元法和非连续Galerkin方法.由此可见，寻找物理背景明确的非线性系统的守恒律十分必要.

以（1＋1）维非线性弹性波动方程、Brusselator方程组和（2＋1）维广义CBS方程作为研究对象，以符号计算软件Maple为工具，采用第一同伦公式法，分别构造这3个方程（组）的守恒律.

1 守恒律构造方法

构造微分系统守恒律的方法包括直接法[4］、标量公式法、第一同伦公式法[2-3］、第二同伦公式法、利用对称和共轭方程（组）法[5-7］、Lax对方法、迹恒等式法和Bäcklund变换法[8］等，文中采用第一同伦公式法.

设自变量x＝（x1，x2，…，xn），因变量u＝（u1，u2，…，um）.

步骤1 计算系统相应的n维欧拉算子

步骤2 计算n维拓扑算子

步骤3 由步骤2所得结果，得到通量进而通过全导数算子作用，得到形如的微分系统的守恒律.

2 构造非线性偏微分方程的守恒律

2.1 弹性波动方程

非线性弹性波动方程为

式中：γ为任意常数.文献[9］应用Lie对称法，在不同对称的恒等条件下，变换方程（1）为常微分方程，进而获得若干不变解.

首先，假设其特征

得到关于特征Λ1的化简后的确定方程组，即

经计算，有特征

式中：c1，c2，c3为参数.

选取参数并利用第一同伦公式计算通量，得出3种情形：

情形1 c1＝1，c2＝c3＝0，特征Λ1＝ux，通量

情形2 c2＝1，c1＝c3＝0，特征Λ1＝1，通量

情形3 c3＝1，c1＝c2＝0，特征Λ1＝t，通量

可得方程（1）的守恒律，即

2.2 Brusselator方程组

Brusselator方程组为

式中：c，d为扩散系数；a，b为其他反应物的固定浓度；λ为衡量容器大小的参数.首先计算方程组（2）的特征，设a，b，c，d，λ均不为0，且c-d≠0，令

求解化简的确定方程组，得

选取参数，并利用第一同伦公式计算通量，得出2种情形：

情形1 当c1＝1，c2＝0时，特征

通量

情形2 当c2＝1，c1＝0时，特征

通量

可得方程组（2）的守恒律，即

2.3 广义CBS方程

广义CBS方程为

式中：α，β，δ为任意常数，α≠1，β≠0，δ≠0.

Zhang Huan Ping等通过Painlevé检验，得到方程（3）可积的条件，给出无穷多对称并对其进行对称约化[10］.设特征

计算关于Λ4的确定方程组

式中：α，β，δ，c1为任意常数，α≠0，δ≠β；f（t），g（t）为可微的任意函数.

选取参数并利用第一同伦公式计算通量，得出3种情形：

情形1 设c1＝1，f（t）＝0，g（t）＝0时，特征 Λ4＝ux通量

情形2 设c1＝0，f（t）为任意函数，g（t）＝0时，特征

通量

情形3 设c1＝0，f（t）＝0，g（t）为任意函数时，特征 Λ4＝g（t）通量

可得方程（3）的守恒律，即

3 结束语

将第一同伦公式法应用到物理背景明确的（1＋1）维非线性弹性波动方程、Brusselator方程组和（2＋1）维广义CBS方程守恒律的构造中，在求得结果的同时，进一步说明该方法的有效性.该方法还可以用于获得其他非线性偏微分方程的守恒律.

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