分数阶脉冲微分方程的反周期边值问题

杨 柳，高正晖

（衡阳师范学院 数学与计算科学系，湖南 衡阳 421002）

0 引 言

反周期边值问题是重要一类的边值问题，它的研究得到了广泛关注。反周期边值问题产生于一些物理过程的数学模型当中，见文献［1－2］。最近对分数阶微分方程反周期边值问题的研究可见文献［3－4］。对于带脉冲的分数阶微分方程边值问题，已有文献多是讨论阶数 和2＜q的情形。

本文将研究如下分数阶脉冲微分方程的反周期边值问题

1 预备知识

令

定义1.1 一个函数u∈c，并且它的q阶Caputo导数j1在上存在，且满足 （1），那么它叫做问题 （1）的解。

为了处理问题 （1.1），首先考虑相联的线性问题和它的解。

引理1.1 假设

对于给定的，如下边值问题的解

按下式给出

1.在转换师生角色上,积极探索和构建和谐民主的新型师生关系。“亲其师,才能信其道。”课堂是一个情感场,学生们会带着各种各样的感情上每一节课。教师要在平等的前提下,严爱有度,走进学生的心灵,给学生信心,给学生温暖,给学生希望,给学生可以触摸到的未来,才可以建立良好的师生关系,学生才会因为喜欢这位教师而喜欢上这位教师的课。

证明 方程 （2）可以写作

这里b0∈ℝ

对于t∈J1，则有

这里b1∈ℝ。这样，有

考虑到△u（t1）＝Q1（u（t1）），可得

归纳可得

由u（0）＝－u（1）可得

化简可得引理。

2 主要结果及证明

证明 首先证明算子T：PC（J，ℝ）→PC（J，ℝ）是全连续的。考虑到f，Qk的连续性，可知T是连续的。

令Ω⊂PC（J，ℝ）是有界的。则存在常数K1＞0，K2＞0使得对于任意的u∈Ω，

这样，对于任意的u∈Ω，有

这意味着

另一方面，对任意的u∈Ωτ1，τ2∈Ji，τ1＜τ2，i＝0，1，…，p，可得

根据tq在J上是一致连续的，可知T在Ω⊂PC（J，ℝ）上是等度连续的。根据文献［5］的引理5.4.1，可得T是相对紧的。这样T：PC（J，ℝ）→PC（J，ℝ），是全连续的。

定义Ω＝｛u∈PC（J，ℝ）｜‖u‖≤r｝，根据条件可得

对于u∈∂Ω，可得

因为

所以，有‖Tu‖≤‖u‖，u∈∂Ω。这样，根据引理2.2，可得算子T至少有一个不动点，它就是边值问题 （1）的解。

例2.1 考虑边值问题

很明显，它满足推论2.1的条件，根据推论2.1可得此边值问题至少具有一个解。

［1］Nakao M.Existence of an anti－periodic solution for the quasilinear wave equation with viscosity［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，204（3）：754－764.

［2］Shao J.Anti－periodic solutions for shunting inhibitory cellular neural networks with time varying delays［J］.Physics Letters A，2008，372（30）：5011－5016.

［3］Ahmad B.Existence of solutions for fractional differential equations of order with anti－periodic boundary conditions［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2010，34（3）：385－391.

［4］Wang G，Ahmad B，Zhang L.Impulsive anti－periodic boundary value problem for nonlinear differential equations of fractional order［J］.Nonlinear Analysis，2010，74（3）：792－804.

［5］孙经先.非线性泛函分析及其应用［M］.北京：科学出版社，2008.

［6］郭大均，孙经先，刘兆理.非线性常微分方程泛函方法［M］.济南：山东科技出版社，2005.