半群的Cwrpp Rees根的扩张结构

高振林， 许成苏

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 预备知识

定义1［1］半群S上的Green′s关系L和R定义为

Fountain［2］将Green’s关系推广，定义 Green’s＊关系L＊和R＊为：

（a，b）∈L＊当且仅当对∀x，y∈S1有ax＝ay⇔bx＝by

（a，b）∈R＊当且仅当对∀x，y∈S1有xa＝ya⇔xb＝yb

文献［3］对Green′s＊－关系做了进一步推广，定义Green’s＊＊关系L＊＊和R＊＊为

（a，b）∈L＊＊当且仅当对∀x，y∈S1有（ax，ay）∈R⇔（bx，by）∈R

（a，b）∈R＊＊当且仅当对∀x，y∈S1有（ax，ay）∈L⇔（bx，by）∈L

定义2［4］半群S如果满足下列条件：

a.S的每个L＊＊－类至少含有一个幂等元；

b.对∀a∈S，∀e∈E（）有a＝ae，其中E（）为的幂等元集合，则称S为wrpp半群；若wrpp半群S还满足E（S）⊆C（S），即S的幂等元在S的中心（）CS中，则称S为Cwrpp半群.

定义3［5］半群S上的同余ρ称为Cwrpp同余，如果S／ρ是Cwrpp半群.此时如果ρ还是S上的Rees同余，称ρ是Cwrpp Rees同余.

定义4［5］对半群S上的Cwrpp同余ρ，如果存在S的子集I和Cwrpp子半群使得

S＝I∪C（不必是不交并）且C≅S／ρ

则称I是S的（Cwrpp）ρ－集，这时将ρ记作ρI.

由文献［5］知，若（Cwrpp）ρ－集存在，则由ρ唯一确定.另外，若ρ是 Cwrpp Rees同余，则（Cwrpp）ρ－集I必存在，且I是半群S的理想，称I为S的Cwrppρ－理想.

定义5［5］对半群S，如果S无任何Cwrpp同余，那么定义S的Cwrpp根同余是泛关系S×S，且称S是Cwrpp根半群；如果S至少有一个Cwrpp同余，那么定义S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα（α∈w）的交，记作ρcr.即

如果ρcr也有ρcr－集，则将其记为N（S）.即ρcr＝ρN（S）.称N（S）为S的 Cwrpp根集.对于 Cwrpp根同余ρcr和Cwrpp根集N（S），有时统称它们为S的Cwrpp根.

由定义5知，对任－半群S，ρcr总是存在的.一般地，ρcr不必仍是S的Cwrpp同余.当然，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，那么ρcr是S上的最小Cwrpp同余.

定义6［5］称半群S的Cwrpp根同余ρcr是强Cwrpp根，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，且N（S）存在.若S的强Cwrpp根同余ρcr还是Rees同余，即N（S）是S的理想，则称S为有强Cwrpp Rees根的wrpp半群.

设半群S的Cwrpp根同余ρcr是强Cwrpp根，由文献［5］知

定义7［4］称半群S为（右）左（L）R－可消的，若∀a，b，c∈S有（（ba，ca）∈L⇒（b，c）∈L）（ab，ac）∈R⇒（b，c）∈R.

定义8 假设N，T＊是不相交半群，T＝T＊∪｛0｝有零元0.称半群S是由T关于N的一个（理想）扩张，如果S＝NT＊（不交并）且N是S的一个理想使得S／N≅T.T关于N的一个（理想）扩张S称为Cwrpp Rees根的扩张，若T是Cwrpp半群且N（S）＝N是wrpp半群.

文献［5］解决了有强Cwrpp根且N（S）＝E（S）是带的wrpp半群S（即SBCRW－半群）的结构刻画.本文继文献［5］的工作，用半群的理想扩张基本理论证明Cwrpp Rees根的扩张半群的结构特征，给出半群Cwrpp Rees根的几种扩张结构.

2 基本性质

由文献［1，3］得以下性质：

性质1 a.（R＊＊－关系）L＊＊－关系为任意半群S上的（左同余）右同余，且在S上有（R＊⊆R＊＊，R＊＊｜E（S）＝R.）L＊⊆L＊＊，L＊＊｜E（S）＝L；

b.设U是半群S的子半群，则 LU⊆LS∩（U×U），RU⊆RS∩（U×U）.

由定义3，4，8易得以下引理1，2与性质2.

引理1 若ρ是半群S上的Cwrpp Rees同余，则必有S的Cwrppρ－理想I使得ρ＝（I×I）∪1S且S／ρ同构于Cwrpp半群S＼I∪｛0｝.

引理2 半群S的Cwrpp根同余ρcr是强Cwrpp Rees根同余的充分必要条件为：

a.ρcr是Cwrpp同余；

b.N（S）存在且N（S）是S的理想.

性质2 设S是有强Cwrpp Rees根的wrpp半群，则

a.N（S）是Cwrpp根半群；

b.如果I既是S的Cwrpp理想，又是Cwrpp根半群，那么I＝N（S）；

c.S是Cwrpp Rees根的扩张半群.

证明 只要证明c.设S满足题设要求，N＝N（S）是S的Cwrpp Rees根，由引理1，知

C＝∪α∈YMα∪ ｛0｝，S／N≅S＼N∪ ｛0｝＝C是Cwrpp半群.依定义8，S是Cwrpp Rees根的扩张半群.证毕.

性质3［3］有零元的Cwrpp半群C＝C＊∪｛0｝有半格分解表示

性质4［3］设S是有强Cwrpp Rees根的 wrpp半群.若E（S）是带，则存在半格Y使得E（N（S））包含子带

证明 由题设条件和引理2得，S／N（S）≅S＼N（S）∪｛0｝是Cwrpp半群，由性质3，设S＼N（S）∪＼是左R－可消么半群的半格，这里Y是半格，1α是（α∈Y）的恒等元.因为E（S）＝E（N（S））∪｛1α｝α∈Y是带，N（S）是S的理想，故对e∈E（N（S）），1α∈C＊，e1α，1αe∈E（N（S）），于是e1α·e1α＝e1α＝eα，e1αf∈E（N（S））.则对∀eα，fβ∈E0（由式（4）定义），eα·fβ＝e1α·f1β＝h1β＝hβ∈E0（h＝e1αf）.即E°是E（N（S））的子带.证毕.

性质5 Cwrpp Rees根的扩张半群S是有强Cwrpp Rees根的wrpp半群.

证明 只要证S是wrpp半群，则由定义8即知S是有强Cwrpp Rees根的wrpp半群.设a∈这里C是Cwrpp半群且N（S）＝N是wrpp半群.往证定义2中a与b.

若α∈N，因N是wrpp半群，故有幂等元e∈E（N），эeL＊＊Na且对∀f∈E（N））有a＝af.由定义1，对

∀x，y∈N，（ax，ay）∈RN⇔（ex，ey）∈RN

设x，y∈S，（ax，ay）∈RS＝R，则有x，，y，∈S，∈ax＝ayy，，ay＝axx，.于是

axN＝ayy，N⊆ayN，ayN＝axx，N⊆axN从而axN＝ayN，即（ax，ay）∈RN.由上式推得（ex，ey）∈RN，再由性质1得（ex，ey）∈RS.同理可证（ex，ey）∈RS⇒（ax，ay）∈RS.综合得（a，e）∈L＊＊S.设∀f∈E（（S）），因

E（S）＼｛0｝＝E（N）∪E（C＊），C＊＝C＼｛0｝若f∈E（（N）），由上知a＝af；若f＝1α∈E（C＊）（∃α∈Y），由（f，e）∈L＊＊S和性质1得eS1＝fS1.因为e∈N，f∈C＊且N是S的理想，故eS1⊆N，fS1∩C＊≠Φ.从而eS1≠fS1.

这表明不存在α∈Y，f＝1α∈E（C＊）∈f∈E（（S））.故对α∈N定义2中a与b成立.

对α∈C用以上相同方法可得定义2中a与b成立.证毕.

由性质2与性质5得：

定理1 设S为半群，以下两条等价.

a.S是Cwrpp Rees根扩张半群；

b.S是有强Cwrpp Rees根的wrpp半群.

引理3［6］设半群C与I满足以下两条，则C关于I的扩张总是存在的.

a.C无真零因子；

b.I至少有一个幂等元.

3 半群的Cwrpp Rees根的扩张结构

用半群的理想扩张基本理论，给出半群的几种Cwrpp Rees根的扩张结构定理.

首先C＝C＊∪｛0｝是由式（3）给定的有零元的Cwrpp半群，N是与C＊不相交的Cwrpp根wrpp半群.E（N）包含由Y决定的半格

定理2 从C＊＝∪α∈YMα到N的映射θ定为

则以下结论成立：

a.θ是一个局部同态映射［6］；

b.令S＝NC＊为不交并，在S上定义由（a）－（d）决定的运算“。”

（a）∀x，y∈C＊，x◦y＝xy在C＊中；

（b）∀x∈C＊，n∈N，x◦n＝xθ·n在N中；

（c）∀x∈C＊，n∈N，n◦x＝n·xθ在N中；

（d）∀n，m∈M，n◦m＝nm在N中.

则S构成一个Cwrpp Rees根的扩张半群.

证明a.首先指出θ是C＊到N的局部同态.只需证明对任意的xα∈Mα，yβ∈Mβ有 （xαyβ）θ＝xαθyβθ成立.由θ的定义知，存在eα，eβ∈E1使得xαθ＝eα，yβθ＝eβ.因C＊是Cwrpp半群，E1是由Y决定的半格，故有

b.由文献［6］知，S是θ决定的C关于N的扩张.因为N是Cwrpp根wrpp半群，C是Cwrpp半群，S＝NC＊，故N是S的最小Cwrpp理想，所以N＝N（S）.即S构成Cwrpp Rees根的扩张半群.证毕.

由文献［4－5］，性质3和定理2得以下推论：

推论1 设C是由式（3）给出的Cwrpp（Crpp）半群，N是Cwrpp根wrpp半群且有半格分解N＝∪α∈Y.若N∩C＊＝Φ，则

a.E（N）是带且包含子半格E1（式（5）定义）；

b.从C＊到N可由式（6）定义局部同态映射θ，通过（M1）－（M4）决定C关于N的Cwrpp（Crpp）Rees根扩张半群S，使得N是S的强Cwrpp（或Crpp）Rees根.

以上推论的一个特别情形是下面的结论：

推论2 设C为式（3）给出的Cwrpp（Crpp）半群，N是有零元的左（右）正则带.若N∩C＊＝Φ，则

a.N是包含子半格E1（如式（5）定义）的Cwrpp根wrpp半群；

b.从C＊到N可由式（6）定义局部同态映射θ，通过（a）－（d）决定C关于N的Cwrpp（Crpp）Rees根扩张半群S，使得N是S的强Cwrpp（或Crpp）Rees根.

由性质4，Cwrpp根wrpp半群N的幂等元集E（N）不必包含子半格E1.但只要E（N）非空，由引理3知，N的Cwrpp Rees根扩张总是存在的.因此类似定理2的证明，易证下列更一般的Cwrpp根扩张定理.这里省略其证明.

定理3 设N是有零元的Cwrpp根wrpp半群，Cwrpp半群C由式（3）给出，S＝N∪·C＊是不交并.若有e∈E（N），则映射θ：∀x∈C＊，xθ＝e是局部同态映射，且S关于运算“。”（由（a）－（d）给出）构成C关于N的Cwrpp Rees根扩张半群.

对E（N）中两个不同的幂等元，由定理3可以得到两个C关于N的Cwrpp Rees根扩张.两者之间的关系由文献［6］给出：

定理4 半群N，C如定理3所设.若有e，f∈E（N），e≠f，则

a.可确定两个C＊到N的局部同态映射θ，θ′为

由θ，θ′可分别决定N的两个Cwrpp Rees根扩张半群S，S′；

b.S和S′是等价扩张（见文献［6］）当且仅当存在N的自同构φ和C的自同构φ，使得θφ＝φ1θ′，其中φ1＝φ｜C＊.

4 例 子

最后用下例结朿本文，该例指出Cwrpp Rees根的扩张半群（即有强Cwrpp Rees根的wrpp半群）有其独特意义.

例1设C是有零元的Cwrpp半群，C的半格分解表示由式（4）给出.取N＝Y＝E1（见式（5）），则N为半格，对任意的x∈C＊，存在α∈Y使得x＝xα∈Mα.可定义映射

下证θ为C＊到N上的局部同态映射.

对x，y∈C＊，则存在α，β∈N使得x∈Mα，y∈Mβ，因此不妨记x＝xα，y＝yβ.则存在zαβ∈Mαβ，使得

（xα·yβ）θ＝ （zαβ）θ＝αβ＝ （xαθ）·（yβθ）故θ为C＊到N的局部同态映射.又对α∈N，∃xα∈Mα，∍xαθ＝α，即θ为C＊到N上的局部同态映射.令S＝C＊∪N为不交并，S上的运算“。”由（a）－（d）给出，即

∀x，y∈C＊，x◦y＝xy在C＊中

∀x∈C＊，β∈N，x◦β＝xθ·n＝αβ在N中

∀x∈C＊，β∈N，β◦x＝β·xθ＝βα在N中

∀α，β∈N，α◦β＝αβ在N中

由定理2知，S是一个Cwrpp Rees根的扩张半群.它是有强Cwrpp Rees根N的wrpp半群.

由于E（S）＝E（N）∪｛1α｝α∈Y＝N∪｛1α｝α∈Y，按以上“。”运算定义有

即E（S）为半格.由于E（S）≠N（S）＝N，故S不是文献［5］中的SBCRW－半群.由文献［5］知，左Cwrpp（右Cwrpp），完备rpp半群（见文献［4，7］）均是SBCRW－半群，故S不是这几类半群中的任何一类.

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