有强Cwrpp Rees根的本原wrpp半群

高振林， 李海沙

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 相关概念和问题

首先，给出渉及到的已有概念.

定义1［2］半群S上的Green关系L和R定义为

定义2［3］半群S上的Green＊＊－关系L＊＊和R＊＊定义为

（a，b）∈L＊＊当且仅当对∀x，y∈S1（ax，ay）∈R⇔（bx，by）∈R

（a，b）∈R＊＊当且仅当对∀x，y∈S1（xa，ya）∈L⇔（xb，yb）∈L令

J＊＊（a）＝其中，J（x）是由x生成的主理想；

L＊＊（a）＝∪｛L（x）｜x∈L＊＊（a）｝其中，L（x）是由x生成的主理想.

称J＊＊（a）（L＊＊（a））为由元a生成的＊＊＿主理想（＊＊＿主左理想），用它引进的J＊＊－关系为

定义3［4］半群S的非零幂等元e称为本原幂等元，若e是非零幂等元集中关于自然序的极小元.

定义4［4］如果半群S的所有幂等元都是本原的，则称S是本原半群.

定义5［4］设I为S的非零左理想，则称其为S的0－极小左理想，如果对S的任意非零左理想A⊆I，有A＝I并且I含零元.

定义6［1］称S为wrpp半群，如果S满足下列条件：

a.S的每个L＊＊－类至少含有S的一个幂等元；

b.对∀a∈S，∀e∈E（）有a＝ae，其中E（）为的幂等元集.

称wrpp半群S为Cwrpp半群，若E（S）⊆C（S），其中E（S）是S的幂等元集，C（S）是S的中心.称wrpp半群S为充足的，若对∀a∈S，∃｜a＋∈E（）使得a＝a＋a.称充足wrpp半群S为左Cwrpp半群，若E（S）是左正则带且L＊＊是同余.本文引进以下概念：

定义7 半群S上的同余ρ称为S上的Cwrpp同余.如果S／ρ是 Cwrpp半群；令ρ是S上（Cwrpp）同余，如果存在S的子集I满足S＝I∪C，且C同构于S／ρ则称I是S的（Cwrpp）ρ－集，这时将ρ记作ρI.

定义8S为半群，如果S不包含任何Cwrpp同余，那么定义S的Cwrpp根同余是泛关系S×S，且称S是Cwrpp根半群；如果S至少包含任何一个Cwrpp同余，那么定义S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα（α∈ω）的交集，记作ρcr，即

如果ρcr也有ρcr－集，记为N（S），所以ρcr＝ρN（S）.称N（S）为S的Cwrpp根；称半群S的Cwrpp根同余ρcr是强Cwrpp根，若ρcr仍是S的Cwrpp同余，且N（S）存在.此时

定义9［5］假设N，T＊是不相交半群，T有零元0，T＝T＊∪｛｝0称半群S是由T关于N的一个（理想）扩张，如果N是S的一个理想，且S／N≅T.

定义10 称I为半群S的（0－）＊＊－左（右）理想，若I为S的左（右）理想且对

这里（）是包含α∈S的L＊＊（R＊＊）－类；称S的子集I为S的（0－）＊＊－理想，若I既为S的＊＊－左理想又为S的＊＊－右理想；称S的子集I为理想（0－）＊＊－左（右）理想，如果I既是理想又是（0－）＊＊－左（右）理想.

定义11 有零元的半群S称为左0－＊＊－单的，如果S的理想＊＊－左理想只有S或｛｝0且S2≠｛｝0；无零元的半群S＊称为左＊＊－单的，如果它没有真理想＊＊－左理想.

定义12 设S是wrpp半群，如果ρN（S）是强的且N（S）是理想，那么称S为有强Cwrpp Rees根的wrpp半群；若S还是本原半群，则称其为有强Cwrpp Rees根的本原wrpp半群.

引理1［4］一个0－单半群是完全0－单半群，当且仅当它至少有一个本原幂等元.

引理2［4］设e为半群S的本原幂等元，则Se是S的一个0－极小左理想.

引理3［4］S是单0－半群，L是S的0－极小左理想，那么L＼｝是S中极小非零L－类.

定理1［4］若S是有零元的本原正则半群，那么S是完全0－单半群的0－直并.由定义11易得以下结论.

引理4 在有零元的半群S上，下列命题成立：

a.S＊是左＊＊－单的，当且仅当J＊＊是S上的泛关系；

b.S是左0－＊＊－单的，当且仅当S2≠且，L＼｝是S的仅有J＊＊－类.

引理5［4］以下结论成立：

a.（R＊＊－关系）L＊＊－关系为任意半群S上的（左同余）右同余且在S上有下列式子成立：

b.设U是半群S的子半群，则LU⊆LS∩（U×U）；RU⊆RS∩（U×U）.

引理6 下列命题成立：

a.［3］有零元的Cwrpp半群C有半格分解表示

其中，（α∈Y）是左R－可消幺半群.

b.［1］在有零元的左Cwrpp半群S上，L＊＊＝J＊＊是S上半格同余.

引理7 设S为有强Cwrpp Rees根的wrpp半群，则

a.N（S）是wrpp半群；

b.N（S）＝∩α∈ω｛Iα｜对于∀α∈w，Iα是S的wrpp子半群，Cwrpp理想｝；

c.设a∈S，则有幂等元且J＊＊（a）是S的wrpp理想＊＊－左理想.

证明 因S为有强Cwrpp Rees根的wrpp半群，所以

a.设a∈N（S）⊆S，因S是wrpp半群，故有e∈E（），使得a＝ae.因N（S）是S的理想，e∈E（）⊆⊆L＊＊（a）⊆N（S），故∃e∈E（N（S））使得aL＊＊N（S），a＝ae成立.故N（S）为wrpp半群.

b. 由 定 义 8 知N（S） ＝ ∩α∈ω是S的因N（S）是S的理想，故N（S）是S的最小Cwrpp理想.而命题b右边的集合显然也是S的最小Cwrpp理想，故它必等于N（S）.

c.由于S是wrpp半群，所以∃e∈E（S）使得于是再证J＊＊（a）是S的wrpp理想＊＊－左理想：由于J＊＊（a）是由元a生成的＊＊－主理想，故J＊＊（a）既是S的理想又是其＊＊－左理想，故J＊＊（a）是S的理想＊＊－左理想.又由a的证明过程可知，J＊＊（a）是wrpp半群.综上，J＊＊（a）是S的 wrpp理想＊＊－左理想.

基于以上定义和结论，我们应用有零元的Cwrpp半群C有半格分解表示 （即式 （1）），强Cwrpp Rees根性质和本原性质，用理想扩张的手段来刻画有强Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的结构特征.

2 有强Cwrpp Rees根的wrpp半群的性质

以下若不特别声明，S总表示有强Cwrpp Rees根的wrpp半群.

性质1 设S是本原的，则

a.S的仼一子半群是本原的；

b.对0≠e∈E（S），a∈S，aL＊＊e当且仅当a≠0且a∈Se.

证明 结论b的证明类似于文献［6］中推论3.2的证明，这里省略，只证结论a.

设T≤S，S是本原的，即∀e∈E（S），e在S上是本原的，由于E（T）上自然序所以∀e∈E（T），e在T上也是本原的，故T是本原的.

性质2 设a∈S，若J＊＊（a）是非零主理想＊＊－左理想集合中极小元，则J＊＊（a）＝∪｛｝0.

证明 显然⊆J＊＊（a）.反之，设0≠x∈J＊＊（a），显然J＊＊（x）⊆J＊＊（a），由J＊＊（a）是非零主理想＊＊－左理想集合中的极小元和引理7推出J＊＊（x）＝J＊＊（a），即x∈.因此J＊＊（a）＝∪｛｝0.

性质3 下列结论成立：

a.对∀a∈S，J＊＊（a）＝∪｛Je｜e∈E）｝；

b.对∀a∈S，L＊＊（a）＝∪｛Le｜e∈E）｝；

c.S的理想＊＊－左（右）理想I可表为I＝∪e∈E（I）J＊＊（e）.

证明S是有强Cwrpp Rees根的wrpp半群，所以

a.由J＊＊（a）定义：∀e∈E（），有Je⊆（a），故∪｛Je｜e∈E）｝⊆J＊＊（a），另一方面，设0≠x∈J＊＊（a），由引理5、引理7，得

b.显然∪｛Le｜e∈E（）｝⊆L＊＊（a）.另一方面，设0≠x∈L＊＊（a），S是wrpp半群，故∃e∈E）使得

c.设T＝∪e∈E（I）J＊＊（e），可证T是S的理想.为此先证T为S的子半群

∀a，b∈T∃e，f∈E（I）使得a∈J＊＊（e），b∈J＊＊（f）而J＊＊（e）是S的理想，所以有ab∈J＊＊（e）⊆T.故T为S的子半群.又∀a∈T，∃f∈E（I）使得a∈J＊＊（f），由于J＊＊（f）为S的理想，故有∀s∈S，as∈J＊＊（f）⊆T，sa∈J＊＊（f）⊆T，故T为S的理想.

再证T是S的＊＊－左理想：对a∈T，存在f∈E（I），使得a∈J＊＊（f）由于J＊＊（f）是S的理想＊＊－左理想，则⊆J＊＊（f），当然有⊆T，所以T是S的＊＊－左理想.综上，T是S的理想＊＊－左理想.

最后证I＝T成立：由于I是S的理想＊＊－左理想，对∀e∈E（I），J＊＊（e）⊆I，所以有T⊆I；设a∈I则存在e∈E（I）使得a∈，即有＝.又T是S的理想＊＊－左理想，故有＝⊆T，因此a∈T，所以I⊆T.综上，I＝T.

性质4 对0≠e∈E（S），以下各条件等价：

（a）S1e是非零幂等元生成主左理想集合中的极小元；

（b）e是本原幂等元；

（c）S1e是0－极小＊＊－左理想；

（d）S1eS1是非零幂等元生成主理想集合中的极小元；

（e）S1eS1是左0－＊＊－单的.

证明 （a）⇒（c）由非零幂等元生成主＊＊－左理想集合被非零幂等元生成主左理想集合包含，即得该结论成立.

（c）⇒（a）设S1e是0－极小＊＊－左理想.若有f∈E（S）使得S1f⊆S1e，往证S1f也是0－＊＊－左理想：首先S1f是S的左理想，其次由于S是wrpp半群，那么∀a∈S1f⊆S有h∈E（），＝，a＝ah∈S1h从而S1f⊆S1h同理可证S1h⊆S1f故S1h＝S1f于是有＝＝⊆S1f，由定义10，S1f是0－＊＊－左理想.由S1e是0－极小＊＊－左理想得S1f＝S1e.从而结论（a）成立.

（b）⇒（a）设e是S的本原幂等元，如果0≠f∈E（S），S1f⊆S1e那么f＝fe，因此efef＝eff＝ef，efe＝ef＝eef，即ef∈E（S），ef≤e.从而ef＝0或ef＝e.若ef＝0，则efe＝ef＝0从而推得.f＝f2＝fefe＝f·0＝0这与0≠f∈E（S）矛盾.因此ef＝e，S1f＝S1e.即（a）成立.

（a）⇒（b）如果（a）成立，设f∈E（S）使得f≤e，那么ef＝fe＝f，S1f⊆S1e.因为S1e是非零幂等元生成主左理想集合中的极小元，所以S1f＝S1e.故e∈S1f，e＝ef＝f成立.即（b）成立.

（b）⇒（d）设e是本原幂等元，假定，对0≠f∈E（S）有S1fS1⊆S1eS1，则有u，v∈S使得f＝uev.取元素g＝evfue，则g有性质

因此g是非零幂等元且g≤e.由于e是本原的，有g＝e.因为f＝ugv，g＝evfue，所以S1fS1＝S1gS1＝S1eS1.因此（d）成立.

（d）⇒（b）假定对某个0≠f∈E（S），f≤e成立.由ef＝fe＝f推 出S1f⊆S1e，从 而，S1fS1⊆S1eS1.由于S1eS1是非零幂等元生成主理想集合中的极小元，因此S1fS1＝S1eS1，从而对e∈S1有S1fe＝S1ee所以S1f＝S1e从而f＝e.（b）成立.

（d）⇒（e）显然（S1eS1）2≠｛｝0，设｛｝0≠A是S1eS1的理想＊＊－左理想，下证A＝S1eS1.由性质3知，在S1eS1上，将A表示为A＝∪f∈E（A）J＊＊（f）.因A≠｛0｝，由 A的表示，故E（A）≠｛0｝，取0≠f∈E（A），则J（f）＝S1fS1⊆A⊆S1eS1，由S1eS1是非零幂等元生成主理想集合中的极小元得，A＝S1fS1＝S1eS1，由定义11知S1eS1是左0－＊＊－单的.

（e）⇒（d）设S1eS1是左0－＊＊－单的，则S1eS1的理想＊＊－左理想只有｛｝0和S1eS1，因此，由非零幂等元生成的主理想＊＊－左理想集合中只有S1eS1.假定对0≠f∈E（S）有S1fS1⊆S1eS1，则S1fS1是S1eS1的另－个非零理想＊＊－左理想，这与S1eS1是左0－＊＊－单的矛盾，即（d）成立.

性质5S是由它的某个Cwrpp子半群C关于Cwrpp根N（S）理想扩张，得到

且当S是本原半群时，有

a.C＊有依赖于本原半格Y的分解式（1）；

b.N（S）是S的理想＊＊－左理想且有不交并表示

其中，J＊＊（e）（∀e∈∩α∈wE（Iα））是S的左0－＊＊－单子半群.

证明 由定义11和定义12知，只要证当S是本原半群时结论a，b成立.

a.由引理6知，C＊有半格分解式（1），由于S是本原的，由性质1知，C＊也是本原的，即∀e∈是本原的，故Y为本原半格，因此C＊有依赖于本原半格的分解式（1）.

b.先证N（S）是S的理想＊＊－左理想，这只要证N（S）是S的＊＊－左理想：设a∈N（S），由引理5知，N（S）是S的理想得⊆L＊＊（a）⊆N（S），即N（S）是S的＊＊－左理想.

再证式（2）成立：由于N（S）是S的理想＊＊－左理想，由性质3知，N（S）可表示为N（S）＝∪e∈E（N（S））J＊＊（e），由引理7知，N（S）＝∩α∈ωIα，所以故式（2）成立.

最后证J＊＊（e）（∀e∈∩α∈wE（Iα））是S的左0－＊＊－单子半群：设｛0｝≠A是J＊＊（e）的－个非零理想＊＊－左理想，由引理7，J＊＊（e）是wrpp半群，故

应用性质4（b）⇒（d）的证明得e＝f∈A.因｛0｝≠A是J＊＊（e）的－个非零理想＊＊－左理想，由e＝f∈A得A＝J＊＊（e），即J＊＊（e）是左0－＊＊－单的.

3 有强Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的结构特征

下面给出有强Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的一个结构特征，并用实例说明这类半群具有其独特意义.

定理2 对于有强Cwrpp Rees根的wrpp半群S，以下条件等价：

（a）S是本原的；

（b）S是Cwrpp半群C关于N（S）的理想扩张，其中N（S）和C满足条件：

（1）N（S）是本原wrpp左0－＊＊－单子半群的0－直并；

（2）C是本原wrpp左0－＊＊－单子半群的0－直并.

（c）S是本原wrpp左0－＊＊－单子半群的0－直并.

证明 （a）⇒（b）由性质5，设本原半群S是它的某个Cwrpp子半群C关于N（S）的理想扩张.只需证（1）（2）成立，现证（1）.由性质5知，J＊＊（e）是左0－＊＊－单的（∀e∈∩α∈wE（Iα））.下证N（S）是J＊＊（e）（∀e∈∩α∈wE（Iα））的0－直并.由于对∀e，f∈∩α∈wE（Iα）

设x∈且y∈，那么. 因为

得J＊＊（xy）｛｝＝0或J＊＊（xy）＝J＊＊（e），J＊＊（xy）｛｝＝0或J＊＊（xy）＝J＊＊（f）.因此

综上知，条件（1）成立.由性质5，用相同方法可证（2）成立.

（b）⇒（c）由（1）（2）和性质5式（2）知

由引理6，令E2＝｛1α｝α∈Y这里1α（α∈Y）为左R－可消幺半群＝（α∈Y）的幺元.令¯E＝E1∪E2，由S＝N（S）知.于是

由结论（b）和以下亊实：

即使（c）成立.

（c）⇒（a）由题设条件不妨设S＝∪e∈¯EJ＊＊（e）是本原wrpp左0－＊＊－单子半群J＊＊（e）的0－直并（e∈是幂等元），由性质4，e∈是J＊＊（e）的本原幂等元，且对 ∀h∈J＊＊（e），h是J＊＊（e）的本原幂等元.往证结论（a）成立.

对∀f∈E（S），设有α∈使得f∈J＊＊（α），只要证明f是S的本原幂等元即可，假设有0≠h∈E（S）使得h≤f，∃β∈使得h∈J＊＊（β），分以下情形进行：

a.若J＊＊（α）≠J＊＊（β）则J＊＊（α）∩J＊＊（β）＝Φ，由题设条件得h＝fh＝hf＝0，不可.

b.若J＊＊（α）＝J＊＊（β）则f，h∈J＊＊（α），f，h是J＊＊（e）的本原幂等元，从而在J＊＊（α）上，由h≤f推得h＝f.

综上所述，知f是S的本原幂等元，从而结论（a）成立.

最后给出有强Cwrpp Rees根的本原wrpp半群的例子以说明其独特意义.

例1 设C＊是无零元的本原Cwrpp半群，C＝C＊∪｛｝0，C的半格分解由（引理6中）式（1）给出，则易见Y是本原半格.由引理6，设左Cwrpp半群N（见文献［4］）有依赖于本原半格Y的半格分解N＝∪α∈Y.则有以下结论：

a.易知，E（N）包含由Y决定的子带E1为

b.N是本原半群：事实上∀e∈E（N）∃α∈Y使得e∈E（），若有f∈E（N），f≤e则f∈E）（β∈Y），由于Y是本原半格，故f＝e，即e是本原的，所以N是本原半群.

c.N和C满足条件（1）（2）：首先是本原wrpp左0－＊＊－单子半群，下证N和C是的0－直并：事实上，由于Y是本原半格，所以∀α，β∈Y有α≤nβ⇔α＝β，从而有

所以，N和C是本原wrpp左0－＊＊－单子半群的0－直并.令

定义 从C＊到N的映射

可证θ是一个局部同态映射［6］：∀x，y∈C＊，则存在α，β∈Y使得x∈Mα，y∈Mβ，不妨设x＝xα，y＝yβ则存在zαβ∈Mαβ，使得

在S上定义如下运算"°"：

则易验证S成为C关于N的理想扩张半群.由定理2知，S是有强Cwrpp Rees根的本原wrpp半群.由于故S不是文献［1］中的SBCRW－半群.说明这类半群有其独特意义.

［1］Du L，Shum K P.On left Cwrpp semigroups［J］.Semigroup Forum，2003，67：373－387.

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