用正切代换方法证明几何不等式

刘保乾

（西藏自治区组织编制信息管理中心，西藏 拉萨 850000）

用正切代换方法证明几何不等式

刘保乾

（西藏自治区组织编制信息管理中心，西藏 拉萨 850000）

提出用正切代换方法证明三角形几何不等式和圆内接四边形不等式；给出了代换公式，诸多实例表明该方法是有效的；同时，针对正切代换方法，提出了2个待解决的问题．

三角形几何不等式；圆内接四边形不等式；正切代换方法

文献[1]的作者提出用正切代换方法证明三角形不等式和圆内接四边形不等式．本文中，笔者继续对正切代换的相关问题进行讨论．

1 正切代换方法及其代换公式

1．1 三角形中的正切代换方法

△ABC中的齐次不等式，总可以化为关于三角形3个内角函数的不等式

f(A,B,C)≥0．(1)

由于A＋B＋C＝π，故可将式(1)中的角元消去1个．现假设消去角C，得到仅含有角元A和B的三角函数不等式

g(A,B)≥0．(2)

φ(t1,t2)≥0, t1＞0,t2＞0．(3)

这样就将三元不等式(1)转化成了二元不等式(3)．在这个转化过程中，由于应用了万能置换公式，即把三角形内角的三角函数通过其半角的正切表示出来，故将这种证明不等式的方法称为正切代换方法．

设△ABC的3条边为a,b,c，3个内角为A,B,C，半周为s，3条角平分线为wa、wb、wc，中线为ma、mb、mc，高和旁切圆半径分别为ha、hb、hc和ra、rb、rc，内切圆和外接圆半径分别为r和R，则有如下代换公式：

评注1 注意不等式(1)是三角形几何不等式，它是带约束条件的，那么不等式(3)也是带有约束条件的．由公式1)～35)知，这个约束条件是

式(4)本质上就是三角形的构成条件．

1．2 圆内接四边形中的正切代换方法

设有圆内接四边形ABCD．由于圆内接四边形对角互补，即C＝π－A,D＝π－B，故对一个仅含圆内接四边形内角三角函数的不等式

而言，式(5)可化为仅含有角元A和B的三角函数不等式g(A，B)≥0．按正切代换方法，g(A，B)≥0又可化为关于tan的不等式φ(t1，t2)≥0(t1＞0,t2＞0)，这样圆内接四边形不等式(5)的证明，就可转化为关于tan的二元不等式φ(t1，t2)≥0的证明．从形式上看，这个二元不等式与三角形中的不等式(3)是一样的．

圆内接四边形的正切代换公式如下：

在不等式自动发现与判定程序agl2010[2]中，对三角形不等式进行正切代换的命令是subs(lst＿ta,bds)；对圆内接四边形不等式进行正切代换的命令是subs(lst＿t,bds)．

2 应用举例

2．1 证明三角形几何不等式

2．2 证明圆内接四边形不等式

例3 设u,v,t,k∈R，证明圆内接四边形ABCD中的不等式

证 用判别式链方法[3]容易证明：要证不等式(6)，只需证

例4 在不等式自动发现与判定程序agl2010[1]读入内存的情况下，键入如下命令：

＞df:＝{sgm＿s＿d(sin(A)),sgm＿s＿d(sin(A/2)),sgm＿s＿d(sin(A/2)＋sin(B/2))};

＞ trga＿s＿jjyg(df,df,1,0);

经过282秒运算后，输出41个圆内接四边形不等式，试证明其中的

3 结语

本文通过熟知的三角函数万能置换公式，得到了证明三角形不等式和圆内接四边形不等式的正切代换方法．原则上讲，正切代换适用于一切关于三角形线元及内角三角函数的不等式，但对圆内接四边形来说，情况则有所不同．在圆内接四边形中，由于边长或其他线元不一定能够用内角的三角函数表示出来，故正切代换对含有边长等线元的圆内接四边形不等式无效．另外，对一般不等式而言，正切代换后得到的二元非齐次不等式φ(t1,t2)≥0的证明并不容易，难度较大．从本文的诸例可以看出，配平方和方法可能是解决这类不等式的有效方法．很显然，正切代换方法还有许多需要进一步完善的地方．现提出2个主要问题：

问题1 正切代换后得到的二元非齐次不等式φ(t1,t2)≥0是否有统一的证明方法？

问题2 对角元和线元混合型圆内接四边形不等式，如何建立比较通用的证明方法？

[1] 刘保乾.四边形不等式的自动发现[J].汕头大学学报,2012,27(2):9-17.

[2] 刘保乾.不等式的自动发现原理及其实现[J].汕头大学学报,2011,26(2):3-11.

[3]王挽澜.建立不等式的方法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2011:162.

Proving Geometric Inequality with the Method of Tangent Substitution

LIU Baoqian

(Information Center,Tibet Personnel Bureau,Lhasa,Tibet 850000,China)

The method for proving geometric inequality in triangle&round inscribed quadrangle is built on the basis of tangent substitution,and the formula of tangent substitution is given.A number of examples state that the method is effective.Two outstanding questions are posed in the end based on the method of tangent substitution.

geometric inequality in triangle;inequality round inscribed quadrangle;the method of tangent substitution

O122．3

A

1009－8445（2012）05－0001－04

(责任编辑：陈 静)

2011－12－28

刘保乾(1962－),男,陕西凤翔人,西藏组织编制信息管理中心工作人员．