杭州市7年中考数学试题的主成分分析

骆兰兰，马新生

(浙江外国语学院科学技术学院，浙江杭州310012)

杭州市7年中考数学试题的主成分分析

骆兰兰，马新生*

(浙江外国语学院科学技术学院，浙江杭州310012)

利用主成分分析方法对杭州市2005～2011年的中考数学试题进行了研究，结合基本统计计算结果，分析得出近年来中考试卷主要考查了学生的空间想象能力、应用意识、推理论证能力、运算求解能力以及抽象概括能力，并给出了历年试卷考查内容的变化趋势.

主成分分析;中考数学;杭州市

1 引言

各类高中招生文化考试是以初中毕业生为对象的学能选拔性考试［1］.分析杭州市近年来的中考试卷结构是否紧扣课程标准、有效地考查学生的数学能力和综合素质，对初中学生进行高效学习和教师的教学具有一定的指导作用.目前，关于中考数学试题的命题趋势、试卷结构的分析在国内已有一些研究.张福君［2］从试题特点、对教学的启示等方面对遵义市的整套考卷进行了分析，采用定性研究和基本统计分析方法得出了试卷考查内容全面、知识分配合理的结论，指出中学数学教学必须立足课本.文献［3-5］分别分析了全国各地近几年中考考查学生空间观念与能力型试题的显著特点与命题趋向.文献［6］则以中考必考的内容“数与式”作为研究点，分析了各地的中考卷，发现多数地区控制了数与式运算的步骤，且试题中融入了学生熟悉的生活背景，让师生感到数学不再枯燥.

综合现今中考数学试题的研究，我们可以发现，作者一般是采用定性研究和基本统计相结合的方法，以某一类试题或部分试卷作为研究对象，来分析这些试题的变化趋势，或某年试卷的总体情况，而较少采用完整的数据来分析某地区试卷在一个较长时间内的总体变化情况、每年的试题究竟考查学生哪些数学能力、以及这些数学能力又是通过哪些试题来体现等初中师生十分关注的问题.基于此，本文首先详细分析了杭州市2005～2011年的每一道中考数学试题的考查知识点，得到了7年试题考查内容的全部数据，然后结合基本统计分析，对这批数据采用主成分分析方法［7］进行了详细研究，得出了7年来杭州中考试卷主要考查学生各种数学能力的统计规律.

2 统计分析

2.1 基本统计分析

根据《课程标准》中的考试内容分布以及历年试卷中涉及的知识点，制作了从2005到2011年的考试命题双向细目表，得到7年每道试题考查的知识点.通过统计各考核知识点在试卷中所占的分值，将分值从高到底进行排列，得到了历年试卷的主要考核知识点及分布趋势，分别见表1和表2.

表1 2005～2011年杭州市中考数学试卷中主要考查点的分值统计

表2 2005～2011年杭州市中考数学试卷中主要考查点的分值变化趋势

由分析表1主要考查点的分值数据可知，杭州市近7年来的中考数学试题主要考查了方程与方程组、函数、图形的相似、圆、三角形、代数式等内容，所占比例恰当;试卷命题思路呈现连续性和稳定性的特点，考查内容基本上以数感与符号意识、空间观念与几何直观为主、数据分析观念为辅，且“数与代数”和“空间与图形”始终处于核心地位，试题主要检测学生的数感与符号意识以及空间观念与几何直观等数学基本能力、数学基本思想方法，体现初中数学学习既要使学生有数学知识的增长，也要使学生有数学思维能力的发展的目标.但2007年以后的考查内容有所变化，即统计知识所占的比重有大幅增加，突出了对学生数据分析观念的考查.

由分析表2分值分布的总体趋势数据可以发现，“代数式”“函数”“三角形”等内容始终是这些年的着重考查点，具有重要的地位;“方程与方程组”近两年趋于稳定;“图形的相似”这一知识点在试卷中所占的比重有逐渐下降的趋势，而“统计”近些年来却备受重视，在试卷中所占的比重有逐渐上升的趋势.

2.2 主成分分析

2.2.1 历年试卷的主要考查点

对杭州市2005～2011年的中考数学试卷制作考试命题双向细目表，统计出历年考卷中的主要知识点分布，分别将“有理数的意义”“求相反数与绝对值”……“三角形的有关概念”等知识点依次记为变量X1，X2，…，X98.

2.2.2 主成分分析

将数据集(X1－X98)导入SPSS软件，依次点击Analyze-Data Reduction-Factor进入Factor Analysis(在SPSS中，主成分分析与因子分析均在Factor Analysis模块中完成.)进行一系列的操作，即可得到输出结果［8］，见表3.

表3 输出结果:解释的总方差

由输出结果表3可知，前面5个主成分y1～y5的累积方差占全部方差的88.9%，基本上保留了原来指标的信息，这样原来的98个指标转化为5个新指标，大大降低了维数.根据SPSS软件得到主成分系数矩阵，5个主成分y1～y5的线性组合为:

第一主成分y1中“平行四边形”“矩形等四边形的性质”“整数指数幂的性质”和“切线的性质”等变量的系数绝对值较大，其余变量的系数相当，所以第一主成分是x23，x2，x43，x79，x68，x71，x26，x1，x84，x48，x88，x3的综合变量，主要是全等三角形的概念、正多边形的概念、平面直角坐标系的概念等.三角形、正多边形、平面直角坐标系等都是“空间与几何”中的内容且都涉及对概念的理解，主要反映了对学生的空间图形的有关概念考查，它是义务教育阶段初步培养学生的创新精神和创新能力的一个重要学习内容.空间图形的有关概念是空间想象能力的基本内容，是培养与发展学生的空间想象能力的基本教学目的.因此，第一主成分反映了对学生的空间想象能力的考查.

第二主成分y2是x55，x47，x97，x16，x7，x4，x95，x53，x87，x93，x63，x81，x85，x8，x20的综合变量，主要是“勾股定理的运用”“因式分解”“分式的基本性质”等知识.这些知识点主要是运用于解决现实生活中的数量关系，因此，第二主成分反映了对学生的应用意识的考查.

第三主成分y3是x57，x60，x77，x14，x89，x70，x61，x80，x62，x22，x46，x74的综合变量，主要是“圆心角与圆周角的关系”“圆锥的侧面积和全面积”“锐角三角函数sinA，cosA，tanA的概念”“平方差公式的推导”等知识.这些知识点主要考查学生可以根据这些概念进一步寻找证据、给出其他命题的证明或举出反例，同时也可以去论证其他数学命题的真实性.因此，第三主成分反映了对学生的推理论证能力的考查.

第四主成分y4可以看成是x17，x45，x86，x34，x98，x69，x94，x35，x92，x19，x83，x75的综合变量，主要是“分式的运算”“等腰、等边、直角三角形的概念”“解一元一次方程”“众数与中数的计算”等知识.从《课程标准》可知，数感主要是指数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟.“分式的运算与解方程”等知识便是对数量关系的感悟;“中数与众数的计算”是对数量和运算结果的估计.掌握了以上的知识，有助于学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径.数学运算求解能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.故第四主成分反映了对学生的运算求解能力的考查.

同样，第五主成分y5可以看成是x6，x30，x29，x40，x46，x69，x90，x65，x96，x67，x41，x52，x76，x15的综合变量，主要是“预测变量的变化规律”“用函数刻画变量关系”等知识.从《课程标准》中得知抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能应用于解决问题或做出新的判断.“预测变量的变化规律”“用函数刻画变量关系”便是用函数这个重要的数学模型来刻画数量关系和事物的变化规律，从而帮助学生更好地认识事物之间的内在联系.所以，第五主成分反映了对学生抽象概括能力的考查.

根据以上的5个主成分，我们可以分析得到如下结论:杭州市2005～2011年的中考数学主要考查了学生的空间想象能力、应用意识、推理论证能力、运算求解能力以及抽象概括能力，基本上与《数学课程标准》［9］1－8的理念相符合，但对学生的数据图表处理能力以及创新意识的考查还有所欠缺.

2.2.3 主成分得分

对照双向细目表，将标准化后的原始数据代入5个主成分表达式，可计算出各主成分得分，见表4.这些数据中有不少是负数，并不表明它所考查的能力为负，仅表示该能力与平均水平的相对关系.

表4 2005～2011年杭州市中考数学试卷的主成分得分统计

分析表4数据，2005年数学试卷中的第四主成分的得分的绝对值最大，说明2005年的试卷主要考查学生的运算求解能力;2006年是第四主成分的得分绝对值最大，因此2006年的中考数学侧重考查学生的运算求解能力;同样的，我们可以得到2007年主要考查的是学生的推理论证能力，2008年主要考查学生的运算求解能力;在2009年，位于首位的是第一主成分，主要考查学生的空间想象能力; 2010年首要考查学生的应用意识，2011年则主要考查学生的推理论证能力.

与表1对比可以发现，主成分分析结果与基本统计结果吻合度非常高:2005年“方程与方程组”“函数”这两部分内容在试卷中所占的比重最大，学生要顺利求解问题就必须具备深厚的运算求解能力;2006年，“三角形”“方程与方程组”被着重考查;2007年的考卷，涉及“函数”“统计”的问题最多，强调了对学生的运算求解、推理论证能力的检测;而2008年的试卷中，涉及“函数”与“三角形”的问题最多;“三角形”与“统计”是2009年的主要考查知识点;2010年的试卷注重“代数式”“方程与方程组”等知识，侧重考查学生的应用意识;2011年的试卷十分注重“函数”“方程与方程组”等知识，需要有较好的推理论证技巧.这从一个侧面说明，利用主成分分析的方法来研究中考数学试题是有效的.

计算出每年的主成分得分绝对值的平均值，见表4最后一行.分析数据可知，第四主成分得分绝对值的平均值大大高于其他主成分得分绝对值的平均值，第一、第二、第三主成分得分绝对值的平均值较为接近，而第五主成分又大大低于其他主成分，这说明2005年到2011年的7年中，中考数学试题最注重对学生运算求解能力的考查，对学生的应用意识、空间想象能力、推理论证能力的考查则次之，而对学生抽象概括能力的要求最低，这大致符合《数学课程标准》［9］9-10对初中学生的能力要求.

3 结论

(1)基本统计与主成分分析的结果比较吻合，利用主成分分析的方法来研究中考数学试卷是有效的.(2)根据基本统计的结果，我们可得杭州市2005～2011年的中考数学试题所考查的数学知识基本上是稳定的，但从2007年以来，“统计与概率”这一知识考查的分值有所增加.

(3)通过主成分分析，杭州市2005～2011年的中考数学试题主要考查了学生的空间想象能力、应用意识、推理论证能力、运算求解能力以及抽象概括能力，学生的应试成绩可在一定程度反映他们的数学能力.

(4)从2005年到2011年这7年的时间里，杭州市中考数学试题最注重对学生运算求解能力的考查，对学生的应用意识、空间想象能力、推理论证能力的考查则次之，而对学生抽象概括能力的要求最低.

［1］杭州市普通教育研究室.2009年杭州市各类高中招生文化考试命题实施细则［M］.北京:中国电力出版社，2009: 16-24.

［2］张福君.2005年遵义市数学中考试题分析［J］.上海中学数学，2006，(1，2):8.

［3］马芳.对发展空间观念中考试题的分析与研究［J］.山西师范大学学报:自然科学版，2009(S1):18-22.

［4］邵志芳，李二霞.中高考数学试题难度的认知任务分析［J］.华东师范大学学报:教育科学版，2010(1):48-52.

［5］李奎.中考能力型试题的命题趋向［J］.数学教学通讯，2007(4):46-48.

［6］李双全.数与式中考试题分析与精选［J］.中学生理科月刊，2005(7，8):19-26.

［7］高惠璇.应用多元统计分析［M］.北京:北京大学出版社，2005:265-289.

［8］何晓群.多元统计分析［M］.北京:中国人民大学出版社，2008:173-191.

［9］中华人民共和国教育部.义务教育阶段国家数学课程标准［M］.北京:北京师范大学出版社，2001.

Principal Component Analysis of the Problems in Mathematical Examination of Senior High School Entrance in the Past 7 Years in Hangzhou

LUO Lanlan，MA Xinsheng
(School of Science and Technology，Zhejiang International Studies University，Hangzhou 310012，China)

In this paper，we mainly use the principal component analysis to research the mathematical examination of senior high school entrance from 2005 to 2011 in Hangzhou.Combined with the basic statistical computation，the principal component analysis shows that the entrance examination mainly examines the space imagination ability，application consciousness，reasoning ability，computation ability and abstract ability of the students.At the same time，it shows the trend of the examination in the past 7 years.

principal component analysis;mathematical examination of senior high school entrance; Hangzhou

O212.4;G632.47

A

2095－2074(2012)03－0098－05

2012－04－10

骆兰兰(1990－)，女，浙江义乌人，浙江外国语学院科学技术学院数学系数学与应用数学专业2008级本科生.

*通讯作者:马新生(1966－)，男，江西宁都人，浙江外国语学院科学技术学院数学系教授，工学博士.