与广义欧拉函数有关的方程
2012-09-26俞洪玲沈忠燕
俞洪玲,沈忠燕
(浙江外国语学院科学技术学院,浙江杭州310012)
与广义欧拉函数有关的方程
俞洪玲,沈忠燕*
(浙江外国语学院科学技术学院,浙江杭州310012)
利用初等方法,研究与广义欧拉函数有关的方程φ2(n)=2ω(n)、φ2(φ2(n))= 2ω(n)的可解性,并获得方程的所有正整数解.
广义欧拉函数;方程;正整数解
1 引言
为了将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方,蔡天新[6]等定义了如下的广义欧拉函数.
定义 广义欧拉函数
定理1方程的所有正整数解为n=5,8,15,20,24,60.
定理2方程的所有正整数解为n=11,17,25,32,51,55,62,65,68,75,77,80,82,88,93,96,99,100,104,112,122,124,144,165,170,195,204,220,231,238,240,246,260,264,280,286,300,306,308,310,312,336,350,360,366,372,396,450,510,660,714,780,840,858,924,930,990,1050,2310.
2 引理
为了完成定理的证明,我们需要引入一些引理.
引理2 方程φ2(n)=1的正整数解为n=2,3,4,6.
由引理1得
a)当α=β=0时,方程显然无解;
b)当α≠0,β=0时,φ(n)=φ(2α)=2α-1=2,则α=2,即n=4;
c)当α=0,β≠0时,φ(n)=φ(3β)=3β-12=2,则β=1,即n=3;
d)当α≠0,β≠0时,φ(n)=φ(2α3β)=2α-13β-12=2,则α=β=1,即n=6.
综上可得,方程φ2(n)=1的正整数解为n=2,3,4,6.
引理3 方程φ2(n)=2的正整数解为n=5,8,10,12.
证明 由φ2(n)=φ(n)得φ(n)=4,则n的素因数小于等于5,令
由引理1得
a)当α=β=0,γ≠0时,φ(n)=φ(5γ)=5γ-14=4,则γ=1,即n=5; b)当γ=β=0,α≠0时,φ(n)=φ(2α)=2α-1=4,则α=3,即n=8; c)当β≠0,α=γ=0时,φ(n)=φ(3β)=3β-12=4,方程显然无解;
d)当γ=0,α≠0,β≠0时,φ(n)=φ(2α3β)=2α-13β-12=4,则α=2,β=1,即n=12; e)当β=0,α≠0,γ≠0时,φ(n)=φ(2α5γ)=2α-15γ-14=4,则α=γ=1,即n=10;
f)当α=0,β≠0,γ≠0时,φ(n)=φ(3β5γ)=3β-15γ-18=4,方程显然无解;
g)当α=β=γ=0时,方程显然无解;
h)当α≠0,β≠0,γ≠0时,φ(n)=φ(2α3β5γ)=2α-13β-15γ-18=4,方程显然无解.综上可得,方程φ2(n)=2的正整数解为n=5,8,10,12.
引理4 方程φ2(n)=4的正整数解为n=15,16,20,24,30.
证明 由φ2(n)=4可知φ(n)=8,则n的素因数小于等于5,令
用引理3的方法可得方程φ2(n)=4的正整数解为n=15,16,20,24,30.
引理5 方程φ2(n)=8的正整数解为n=17,32,34,40,48,60.
证明 由φ2(n)=8可知φ(n)=16,则n的素因数小于等于17,由16的因子可以令
用引理3的方法可得方程φ2(n)=8的正整数解为n=17,32,34,40,48,60.
引理6 方程φ2(n)=16的正整数解为n=51,64,68,80,96,102,120.
证明 由φ2(n)=16可知φ(n)=32,则n的素因数小于等于17,由32的因子可以令
用引理3的方法可得方程φ2(n)=16的正整数解为n=51,64,68,80,96,102,120.
引理7 方程φ2(n)=5的正整数解为n=11,22.
证明 由φ2(n)=5可知φ(n)=10,则n的素因数小于等于11,由10的因子可以令
用引理3的方法可得方程φ2(n)=5的正整数解为n=11,22.
引理8 方程φ2(n)=10的正整数解为n=25,33,44,50,66.
证明 由φ2(n)=10可知φ(n)=20,则n的素因数小于等于19,由20的因子可以令
用引理3的方法可得n=25,33,44,50,66.
引理9 方程φ2(n)=12的正整数解为n=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.
证明 由φ2(n)=12可知φ(n)=24,则n的素因数小于等于13,由24的因子可以令
用引理3的方法可得n=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.
引理10 方程φ2(n)=17无解.
证明 由φ2(n)=17可知φ(n)=34,则n的素因数小于等于17,由34的因子可以令
用引理3的方法可知n无解.
引理11 方程φ2(n)=15的解为n=31,62.
证明 由φ2(n)=15可知φ(n)=30,则n的素因数小于等于31,由30的因子可以令
用引理3的方法可知n=31,62.
引理12 方程φ2(n)=20的解为n=41,55,75,82,88,100,110,132,150.
证明 由φ2(n)=20可知φ(n)=40,则n的素因数小于等于41,由40的因子可以令
用引理3的方法可知n=41,55,75,82,88,100,110,132,150.
引理13[7]53当n为正奇数时,φ(2n)=φ(n);当n为正偶数时,φ(2n)=2φ(n).
引理14 φ2(n)=24的解为n=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210.φ2(n)=30的解为n=61,77,93,99,122,124,154,186,198.φ2(n)=32的解为n=85,128,136,160,170,192,204,240.
证明类似于引理3.
3 定理1的证明
n=1,n=2显然都不是方程φ2(n)=2ω(n)的解.下面讨论n>2时,方程φ2(n)=2ω(n)解的情况.
3.1 当ω(n)=1时
当ω(n)=1时,由引理3可知满足φ2(n)=2的解为n=5,8,10,12.这些解中满足ω(n)=1的解为n=5,8.
3.2 当ω(n)=2时
当ω(n)=2时,φ2(n)=4,由引理4可知满足φ2(n)=4的解为n=15,16,20,24,30.这些解中满足ω(n)=2的解为n=15,20,24.
3.3 当ω(n)=3时
当ω(n)=3时,φ2(n)=8,由引理5可知满足φ2(n)=8的解为n=17,32,34,40,48,60.这些解中满足ω(n)=3的解为n=60.
3.4 当ω(n)≥4时
令n=pα11pα22…pαkk(k≥4),其中p1,p2,…,pk为不同素数,满足2≤p1<p2<…<pk,
所以当ω(n)≥4时,方程φ2(n)=2ω(n)无解.综上可知,方程(1)仅有6个解n=5,8,15,20,24,60.
4 定理2的证明
由广义欧拉函数定义及引理2,引理3可知n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12都不是方程φ2(φ2(n)) =2ω(n)的解.容易验证n=11是方程φ2(φ2(n))=2ω(n)的其中一个解.下面讨论n>12(即φ2(n)>2),方程φ2(φ2(n))=2ω(n)解的情况.
4.1 当ω(n)=1时
当ω(n)=1时,φ2(φ2(n))=2,由引理3可知,φ2(n)=5,8,10,12.
4.1.1 当φ2(n)=5时,n的取值情况
当φ2(n)=5时,由引理7可知,n=11,22.这些解中满足ω(n)=1的解为n=11.
4.1.2 当φ2(n)=8时,n的取值情况
当φ2(n)=8时,由引理5可知,n=17,32,34,40,48,60.这些解中满足ω(n)=1的解为n= 17,32.
4.1.3 当φ2(n)=10时,n的取值情况
当φ2(n)=10时,由引理8可知,n=25,33,44,50,66.这些解中满足ω(n)=1的解为n=25.
4.1.4 当φ2(n)=12时,n的取值情况
当φ2(n)=12时,由引理9可知,n=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.这些解中不存在满足ω (n)=1的解.
4.2 当ω(n)=2时
当ω(n)=2时,φ2(φ2(n))=4,由引理4可知,φ2(n)=15,16,20,24,30.
4.2.1 当φ2(n)=15时,n的取值情况
当φ2(n)=15时,由引理11可知,n=31,62.这些解中满足ω(n)=2的解为n=62.
4.2.2 当φ2(n)=16时,n的取值情况
当φ2(n)=16时,引理6可知,n=51,64,68,80,96,102,120.这些解中满足ω(n)=2的解为n= 51,68,80,96.
4.2.3 当φ2(n)=20时,n的取值情况
当φ2(n)=20时,由引理12可知,n=41,55,75,82,88,100,110,132,150.这些解中满足ω(n)= 2的解为n=55,75,82,88,100.
4.2.4 当φ2(n)=24时,n的取值情况
当φ2(n)=24时,引理14可知,n=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210.这些解中满足ω(n)=2的解为n=65,104,112,144.
4.2.5 当φ2(n)=30时,n的取值情况
当φ2(n)=30时,由引理14可知,n=61,77,93,99,122,124,154,186,198.这些解中满足φ(n) =2的解为n=77,93,99,122,124.
4.3 当ω(n)=3时
当ω(n)=3时,φ2(φ2(n))=8,由引理5可知,φ2(n)=17,32,34,40,48,60.所以,φ(n)=34,64,68,80,96,120.令
其中p1,p2,p3为不同素数,由引理1可知,
4.3.1 当φ(n)=34时,n的取值情况
当φ(n)=34时,
由计算可知没有满足条件的n值.
4.3.2 当φ(n)=64时,n的取值情况
当φ(n)=64时,
由计算可知满足条件的n=170,204,240.
4.3.3 当φ(n)=68时,n的取值情况
当φ(n)=68时,
由计算可知没有满足条件的n值.
4.3.4 当φ(n)=80时,n的取值情况
当φ(n)=80时,
由计算可知满足条件的解为n=165,220,246,264,300.
4.3.5 当φ(n)=96时,n的取值情况
当φ(n)=96时,
由计算可知满足条件的解为n=195,238,260,280,306,312,336,360.
4.3.6 当φ(n)=120时,n的取值情况
当φ(n)=120时,
由计算可知满足条件的解为n=231,308,310,350,366,372,396,450.
4.4 当ω(n)=4时
当ω(n)=4时,φ2(φ2(n))=16,引理6可知,φ2(n)=51,64,68,80,96,102,120.所以,φ(n)= 102,128,136,160,192,204,240.令
其中p1,p2,p3,p4为不同的素数.由引理1可知,
4.4.1 当φ(n)=102时,n的取值情况
当φ(n)=102时,
由计算可知没有满足条件的解.
4.4.2 当φ(n)=128时,n的取值情况
当φ(n)=128时,
由计算可知满足条件的解为n=510.
4.4.3 当φ(n)=136时,n的取值情况
当φ(n)=136时,
由计算可知没有满足条件的解.
4.4.4 当φ(n)=160时,n的取值情况
当φ(n)=160时,
由计算可知满足条件的解为n=660.
4.4.5 当φ(n)=192时,n的取值情况
当φ(n)=192时,
由计算可知满足条件的解为n=714,780,840.
4.4.6 当φ(n)=204时,n的取值情况
当φ(n)=204时,
由计算可知没有满足条件的解.
4.4.7 当φ(n)=240时,n的取值情况当φ(n)=240时,由计算可知满足条件的解为n=858,924,930,990,1050.
4.5 当ω(n)=5时
当ω(n)=5时,φ2(φ2(n))=32,引理14可知,φ2(n)=32的解为n=85,128,136,160,170,192,204,240.所以,
当p1,p2,p3,p4,p5取最小的5个素数时,由计算可知
所以当ω(n)=5时,只有n=2310一个解.
4.6 ω(n)≥6时
故方程φ2(φ2(n))=2ω(n)等价于
所以要求解方程φ2(φ2(n))=2ω(n)的解,只需求解方程
由引理5可知,方程φ2(n)=8的解为n=17,32,34,40,48,60.则只需求解方程
因为
所以当ω(n)≥6时,方程φ2(φ2(n))=2ω(n)无解.综上可知,方程(2)的解为n=11,17,25,32,51,55,62,65,68,75,77,80,82,88,93,96,99,100,104,112,122,124,144,165,170,195,204,220,231,238,240,246,260,264,280,286,300,306,308,310,312,336,350,360,366,372,396,450,510,660,714,780,840,858,924,930,990,1050,2310.
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The Equations Related with Generalized Euler Function
YU Hongling,SHEN Zhongyan
(School of Science and Technology,Zhejiang International Studies University,Hangzhou 310012,China)
The equations φ2(n)=2ω(n)and φ2(φ2(n))=2ω(n)related with generalized Euler function is studied using elementary method,and all positive integer solutions are obtained.
generalized Euler function;equation;positive integer solutions
O156.4
A
2095-2074(2012)03-0091-07
2012-03-01
俞洪玲(1990-),女,浙江杭州人,浙江外国语学院科学技术学院数学系数学与应用数学专业2008级本科生.
*通讯作者:沈忠燕(1978-),女,浙江桐乡人,浙江外国语学院科学技术学院数学系讲师,理学博士.