一类超越方程的摄动解＊

陈跃勤

（泗洲中学，浙江 嘉善314100）

0 引言

由于在众多领域中都存在着急待解决的非线性问题模型，而在适当的条件下，摄动方法恰好是解决此类工程技术和科学问题的主要数学工具之一，且所得到的解具有较高的精度，因此非线性问题的摄动解法在国内外学术界越来越受到关注.

国内外许多学者都曾在摄动理论方面做出了巨大贡献，如：Bob O’Malley、Adelaida Vasil’eva、A.H.Nayfeh［1］、钱伟长、郭永怀、钱学森等.许多近似方法也被发展和优化，包括平均法、边界层法、渐近展开法和多重尺度法等.近年来，许多数学工作者都致力于该方面的研究，林宗池、莫嘉琪等［2，3］利用摄动法解决了一些类型的非线性边值问题，唐荣荣［4］、欧阳成［5］、王莉婕［6］也曾讨论了几类非线性奇异摄动问题.本文讨论一类含有足够小的正参数的超越摄动方程：

式中，0＜ε≪1，f（x）充分光滑，且f（x）＝0有m 个根（m≥n），g（x）是任意一个超越函数，且充分光滑，Pn（x）为复数域上的n次多项式：

Pn（x）＝anxn＋an－1xn－1＋ … ＋a1x＋a0，（an≠0）.

1 解得渐进表达式

设方程（1）解的渐近展开式：将（2）式代入方程（1），得：

将以上两项合并，即得：

当ε→0时，得方程（1）的退化方程：

由（3）式可知，x0是方程（4）的根.下面我们分两种情况讨论：

（1）x0为退化方程（4）的单根时，有：f′（x0）≠0.

比较ε的系数，得：f′（x0）x1＋Pn（x0）g（x0）＝0.

则有：

比较ε2的系数，得：

则有：

比较ε2的系数，得：

则有：

用类似的方法，我们可以依次求得x4，x5，… 因此可得摄动方程（1）对应于退化方程单根x0时的渐近展开式：x＝x0＋εα＋ε2β＋ε3γ＋…，0＜ε≪1.其中α、β、γ分别（5）、（6）、（7）式中所示的x1、x2、x3.

（2）若x0是退化方程f（x）＝0的k重根（2≤k≤m）时，有：f（x）＝0，f′（x0）＝0，…，f（k－1）（x0）＝0，f（k）（x0）≠0.我们令方程（1）的根的渐近展开式为：

将（8）式代入方程（1），得：

将以上两项合并，即得：

选出主要项，得：

由（10）式可得x1的k个只值：x1（1），x1（2），…，x1（k）.

比较（9）式中ε（k＋1）ν的系数，得：

则有：

这里的x2对应于x1的k个值，有：x2（1），x2（2），…，x2（k）.

比较（9）式中ε（k＋2）ν的系数，得：

则有：

这里的x3对应于x1、x2的k个值，有：x3（1），x3（2），…，x3（k）.

用类似的方法，我们可以依次求得x4，x5，…因此可得摄动方程（1）对应于退化方程k（2≤k≤m）重根时的根的渐近展开式：

其中x1（r）、x2（r）、x3（r）满足（10）、（11）、（12）式.

2 应用

例 设Pm（x），Pn（x）分别是复数域上的m和n多项式（m≥n），这两个多项式中x的最高次的系数都不为0，g（x）＝tanx，我们考虑方程：

方程（13）对应其退化方程单根时的渐近展开式为：x＝x0＋εα＋ε2β＋ε3γ＋…，0＜ε≪1.

其中：

方程（13）对应其退化方程k重根（2≤k≤m）时的渐近展开式为：

其中x1（k）的k个 值满足：

其中x2（r）满足：

对应于（14）式中x1（k）的k个值，我们可以得到x2（k）的k个值.

相应地，x3（k）满足：

对应于（14）、（15）式中x1（k）、x2（k）的k个值，我们即可得到x3（k）的k个 值.

3 结论

本文利用摄动方法，求得了f（x）＋εPn（x）g（x）＝0（其中0＜ε≪1，Pn（x）为复数域上的n次多项式，f（x）充分光滑，且f（x）＝0有m个根（m≥n），g（x）是超越函数，且充分光滑）这一类超越方程的摄动解.

以上从两方面推广了文献［6］中相应的结论.首先，相对于文献［6］中的超越方程，本文的方程在范围上有所推广，将多项式推广为充分光滑的函数f（x）（f（x）＝0有m个根）；将一特殊的超越函数推广为充分光滑的超越函数.其次，方程的近似解的精度有所推进，近似解的表达式的精度从O（ε2）推进为O（ε3）.

［1］Nayfth A H.Introduction to Perturbation Techniques［M］.New York：John wily ＆son，1981.

［2］林苏榕，林宗池.三阶非线性积分微分方程组边值问题的奇摄动［J］.福建师范大学学报（自然科学版），2000（2）：5～10.

［3］莫嘉琪，唐荣荣.一类间断非线性微分方程的泛函边值问题［J］.应用数学，2002，15（1）：77～81.

［4］TANG Rong－rong.A Class of Strongly Nonlinear Singular Perturbed Boundary Value Problems［J］.Chin Quart J of Math，2003，18：117～120.

［5］欧阳成.一类高次非线性奇摄动问题的匹配解法一类代数方程的摄动解［J］.安徽机电学院学报，2001，16：76～78.

［6］王莉婕.一类超越方程的摄动解［J］.杭州师范学院学报，2001（1）：98～101.