一类Reinhardt域D的全纯自同构群Aut（D）在原点的最大迷向子群＊

李晓燕

（杭州电子科技大学 理学院，浙江 杭州230000）

0 引言

本文用 C 表示复平面 Cn＝ ｛z＝ （z1，…，zn）′：zj∈ C，j＝1，…，n｝表示n维向量空间.D＝ ｛z∈ C∶＜1｝表示复平面 C 的开单位圆盘，Dn＝｛z＝（z1，z2，…，zn）∈Cn∶＜1，zj∈C｝表示n维向量空间 Cn中的开单位多圆柱，Bn＝ ｛z＝ （z1，z2，…，zn）∈ Cn：∑jn＝1＜1，zj∈C｝表示n维向量空间Cn中的开单位球.

定义1 设 Ω⊆ Cn是区域，如果对任意（z1，…，zn）∈ Ω及θ1，…，θn∈ ℝ 必有（eiθ1z1，…，eiθnzn）∈ Ω，则称Ω是Reinhardt域.

定义2 设Ω⊆Cn是区域，f：Ω→Cn是全纯映射.如果f有全纯的逆映射f－1，则称f是双全纯映射.

定义3 设Ω⊆Cn是区域，如果f是把Ω映为自己的双全纯映射，则称f是Ω的一个双全纯自同构.Ω的双全纯自同构的全体记为Aut（Ω）.

熟知，Aut（Ω）在映射的复合运算下构成一个群，称为Ω的全纯自同构群.

定义4 设G为X上的变换群，对x∈X，保持x不变的所有G的群元构成G对x的迷向子群，记为Gx＝ ｛h∈G∶h（x）＝x｝.

在很早之前，单位球和单位多圆柱的全纯自同构群的结构已经研究清楚［1～3］.

Cn中各类区域的全纯自同构群是多复变函数论最重要的内容之一，也是不同区域上函数空间理论研究的基本工具.譬如，Bergman核函数就与区域的可逆自同构密切相关.某些区域上的Bergman核函数未必能通过正交系直接算得，但是可以由区域的全纯自同构来计算.华罗庚利用四类典型域的全纯自同构计算出了四类典型域的Bergman核函数［4］.许以超借助正规Siegel域的可递仿射自同构得到了正规Siegel域的Bergman核函数［5］.

一般来说，确定一个区域的全纯自同构群是相当困难的.华罗庚利用矩阵的方法和技巧给出了四类典型域的全纯自同构群.许以超等得到了正规Siegel域的三角群的显式以及正规Siegel域中固定点的最大连通迷向子群，从而获得了复齐性有界域的全纯自同构群［6］.90年代，王安、童武等［7，8］给出了一些特殊的Reinhardt域的全纯自同构最大群，但这方面的其他结果并不多.本文刻画了特殊的Reinhardt域D＝｛（z1，z2，z3）∈ C3∶＋＋p＜1｝的全纯自同构群Aut（D）在原点的最大迷向子群的结构，其中，0＜p≤2，并给出其证明.

1 主要结果

引理1［1］若φ∈Aut（D），φ（0）＝0，则存在3阶复常数非奇异方阵A，使得φ（z）＝Az，∀z∈D.

由引理1就得到下面两个定理，也是本文的主要结论.

定理2 当p＝1时，｛φ∈Aut（D）∶φ（0）＝0｝＝｛A∈C3×3∶A的每行每列恰有一个单位复数，其余元素全为0｝.

证明 由引理1知，｛A∈C3×3∶A的每行每列恰有一个单位复数，其余元素全为0｝⊆｛φ∈Aut（D）∶φ（0）＝0｝显然成立.

下面证明｛A∈C3×3∶A的每行每列恰有一个单位复数，其余元素全为0｝⊇｛φ∈Aut（D）∶φ（0）＝0｝成立.这只需要证明，当

时，A的每行每列恰有一个元素为单位复数，其余元素全为0.

z（1）＝ （1，0，0），z（2）＝ （0，1，0），z（3）＝ （0，0，1），便知A的每一列属于∂D.∀z∈∂D，有：

这说明：

定理3 当0＜p≤2，且p≠1时，

其中A1是2阶复常数方阵，它的每行每列恰有一个单位复数，其余元素全为0｝.

z（1）＝ （1，0，0），z（2）＝ （0，1，0），z（3）＝ （0，0，1），便知A的每一列属于∂D.

第一种情形：0＜p＜1.

取（z1，z2，z3）∈∂D 使其与A 的后2行都正交，由于∈∂D，故

于是，

从而

假如（z1，z2，z3）有两个分量不等于0，不妨设

则

从而

因此，A的第一列和第二列的其余两个分量必然为0，与A的非奇异性相矛盾.因此（z1，z2，z3）恰有一个分量的模等于1，其余分量全为0.A的第一行中相应的那个分量的模等于1，其所在列的后2个分量全为0.同理可知，A的每一行中有一个分量的模为1，相应于模为1的分量所在列的其余分量全为0.注意到A的模为1的元素不能位于同一行，便知A的每行每列恰有一个分量的模为1，其余全为0.

从而

这说明A的第一行的每个分量的模长之和大于等于1.

同理可知，A的第2行的每个分量的1次模之和也大于等于1.

类似地，取（z，z，z）∈∂D 使其与A 的前2行正交，由于 ∈∂D，故

123

即

从而这说明A的第3行的每个分量的p次模之和大于1.

假如（z1，z2，z3）有两个分量不等于0，则上述不等式的右边小于1，此乃矛盾.故（z1，z2，z3）恰有一个分量模为1，其余全为0，从而A的每行中相应的那个分量也是模为1，它所在的那一列的其余分量全为0.再注意到A的每一行每个分量的1次或p模之和恰好等于1，便知A的每一行中恰有一个分量的模为1，其余全为0，相应于模为1的分量所在列的其余分量全为0.这说明A的每行每列恰有一个元素模为1，其余全为0.

［1］史济怀.多复变函数论基础［M］.北京：高等教育出版社，1996.

［2］北京大学数学系.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］石生明.近似代数初步（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［4］华罗庚.多复变数函数论中的典型域的调和分析［M］.北京：科学出版社，1958.

［5］许以超.Cn中的齐性有界域理论［M］.北京：科学出版社，2000.

［6］Xu Y C，Chen M R，Ma S Y.Explicit formula of holomorphic automor－phism group oncomplex homogeneous bounded domains［J］.Science in China，Ser A，2006，49（10）：1392～1404.

［7］童武.一种特殊Reinhardt域的解析自同构最大群［J］.首都师范大学学报（自然科学版），1994，15（3）：20～26.

［8］王安.一类Reinhardt域的全纯自同构最大群［J］.首都师范大学学报（自然科学版），1997，18（3）：4～10.