关于高等数学中两个问题的探讨

2012-09-19司志本李春光

河北民族师范学院学报 2012年2期

关键词：分界点原函数师范学院

司志本，李春光

（1.河北民族师范学院初等教育系，河北承德 067000 2.河北民族师范学院科研处，河北承德 067000）

关于高等数学中两个问题的探讨

司志本1，李春光2

（1.河北民族师范学院初等教育系，河北承德 067000 2.河北民族师范学院科研处，河北承德 067000）

分段函数和积分上限函数，是高等数学中比较重要的两类函数.分段函数在分界点处的导数和积分，是学生感到比较棘手的内容，这就需要教师在内容的解读以及教学方法的选取上，要根据学生的实际情况进行科学的处理；积分上限函数，是一个用积分形式给出的函数，深入挖掘这个函数的潜在功能，对于学生深刻理解微积分的概念是十分有益的.

分段函数；积分上限函数；导数；积分

在高等数学中，有许多内容都要涉及到分段函数和积分上限函数，而学生在解决这两类函数的相关问题时，往往会感到无从下手.本文将对这两类函数的相关问题做一点探讨，相信对学生能够起到一定的指导作用.

1. 关于分段函数的导数和积分

分段函数是一类常见的并且十分重要的函数，它的明显特征就是“分段”，它在分界点处的一些运算和性质，对于初学者来说，需要谨慎处理.

1.1 对分段函数定义的理解

分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数(注：本文中的分段函数均指一元函数)。分段函数虽然有时也可以用一个式子表示出来，例如，分段函数可以用一个式子表示为但是，为了研究方便，我们往往还是用几个表达式来表示，而不刻意追求形式上的简单.

我们知道，初等函数在它的定义区间内是连续的.因为分段函数的分段点往往是间断点，所以，在有些情况下，分段函数在整个定义区间上不是初等函数.

因为分段函数的关键特征是“分段”，所以，在一般情况下，分段函数的图象是由若干段曲线组成的.例如，函数

的图象是以点（0，-1）和点（0，1）（不含此点）为始点，分别向左和向右的两条水平射线.

1.2 分段函数的导数

一般来说，求分段函数的导数可以分两步进行，第一步，先求出函数在去掉分界点以后的各个区间上的导数；第二步，再研究函数在分界点处的导数情况.在各个小区间上的导数可以根据导数的定义、公式和性质等，采用多种方法去求；而在分界点处的导数，一般需要先研究函数在该点的单侧导数（左导数和右导数）.具体说来，如果在该点存在单侧导数，那么就先求出函数在该点处的单侧导数；然后再根据单侧导数的情况，判断函数在该点是否可导；若可导，再进一步求出导数.

解：先将函数f(x)写为分段函数的形式.

当x＞0时，有f′(x)=1；当x＜0时，有f′(x)=-1；当x=0时，由左、右导数的定义有

因为f-′(0)≠f+′(0)，所以，函数在x=0点处不可导.

有时也可以根据导数定义直接求出函数在分界点处的导数.

解：当x≠0时，有

当x=0时，由导数定义有

1.3 分段函数的不定积分

在求分段函数的不定积分时，首先要求出分段函数在各个小区间上的不定积分，这些积分中包含着若干个积分常数，如果被积函数在所有的分界点都是连续的，那么就可以根据不定积分（原函数）的连续性，找出这些积分常数之间的关系，最后得到只含有一个积分常数的不定积分；如果被积函数在某些分界点不连续，那么最后的积分结果可能不止含有一个积分常数，而是含有几个独立的积分常数.

因为被积函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，所以，根据原函数的定义可知，f(x)的原函数也在该区间上连续.

在例3中，因为f(x)在整个定义区间(-∞,+∞)上是连续的，所以，最后的积分结果中只含有一个积分常数.

解：容易知道，分段点x=0是f(x)的第一类间断点（即函数f(x)在x0点的左右极限都存在）；分段点x=1是f(x)的连续点.先分别求出f(x)在区间(-∞,0)，（0，1）和(1,+∞)上的不定积分：

由例4可知，在分段函数的不定积分中，如果分段点是不连续点，则积分常数可能不止一个.

1.4 分段函数的定积分

与不定积分相比较，分段函数的定积分就显得简单多了.定积分的定义告诉我们，有限个间断点不影响定积分的值，所以，只要分段函数的定积分存在，我们就可以以分界点为界点，把原积分区间划分为若干个小的积分区间，先求出函数在每一个小区间上的定积分，然后再对这些积分值求和即可.

解：将被积函数写为分段函数的形式：

以x=π为界点，将积分区间[0，2π]拆为两个小区间[0，π]，[π，2π]，则有

2. 关于积分上限函数的导数

积分上限函数，是一个用积分形式给出的函数，深入挖掘这个函数的潜在功能，对于深入理解微分和积分的概念是十分有益的.我们先给出积分上限函数的定义以及与之相关的一个定理.

为积分上限函数，也称变上限函数.

定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数

在[a,b]上可导，其导数为

2.1 几个积分表达式

上面的（*）式体现了积分上限函数的一个明显特征：即对一个函数先积分后微分，其作用相互抵消.这个特征可以看作是不定积分性质的一种推广.受（*）式启发，我们从一个基本的积分表达式出发，把这个积分中三个含t的位置，分别用一个x，两个x，三个x替换，对于得到的表达式再分别对x和t求导，研究一下这些导数的情况.在下面的讨论中，我们假设所涉及的f(x)的导数和积分都是存在的.

最基本的积分为（三个位置都是t，不含x）：

把（1）式中1个位置的t换为x，可以得到下面三个积分：

CRISPR/Cas9系统也有局限性。如存在一定的脱靶效应。CRISPR/Cas9系统的特异性取决于sgRNA上的识别序列。为了避免脱靶效应，有必要将Cas9引导至其基因组中精确靶标的sgRNA。为了确保Cas9的靶向活性和正常功能，使用Ⅱ型CRISPR/Cas系统和Cas9表征的研究已经证明需要与靶基因序列完美匹配[26-28]。有学者研发了很多软件辅助CRISPR/Cas9系统快速筛选特定基因序列靶点，有针对性地避开可能脱靶的位点，从而降低甚至消除脱靶现象[29]。