具有负泊松比效应蜂窝材料的面内冲击动力学性能＊

张新春，刘 颖，李 娜

（1.华北电力大学机械工程系，河北 保定 071003；2.北京交通大学土建学院力学系，北京 100044）

由于具有独特的力学性能和可设计性强等优点，具有负泊松比效应多胞材料将成为航空航天、汽车、铁路和军事等工程领域不可缺少的材料之一，已引起了广泛关注［1－8］。多胞材料具有负泊松比现象的一种合理解释是材料具有内凹的胞元结构（即胞元扩张角θ小于零），研究较多的是六边形蜂窝及其相应的内凹结构（见图1）。多胞材料内凹微结构的存在，使它具有一些与实体材料不同的特殊性能。尤其在冲击荷载作用下，胞元微拓扑结构的改变对材料局部动态应力演化过程的影响更加显著。因此，如何建立内凹微拓扑结构参数与多胞材料动力学响应间的关系，也是具有负泊松比效应多胞材料力学性能研究的重要目标之一。

具有负泊松比效应多胞材料最早由R.S.Lakes［2］制备，他通过对聚合物泡沫的三轴压缩和热处理，制备了具有内凹胞体结构的材料。目前已经有了解释该现象的多种力学模型［3－8］，并有对这种结构性能进行的大量研究。例如，卢子兴等［3］基于旋转机制，提出了具有负泊松比效应的二维多胞材料力学模型，并预测了模型的泊松比及刚度系数与胞元扩张角之间的关系；J.B.Choi等［4］对内凹泡沫夹芯材料的杨氏模量进行了预测，指出具有负泊松比效应泡沫材料的力学性能与胞元微拓扑结构的改变（由外凸到内凹）有关；D.W.Overaker等［5］研究了微拓扑性和胞元扩张角对六边形蜂窝材料弹性性能的影响；H.Wan等［6］讨论了胞元几何参数对内凹蜂窝结构泊松比的影响，指出该结构的泊松比随着应变的改变而变化；J.N.Grima等［7］对泡沫材料中的拉胀特性进行了研究，并提出了一种新的解释；E.J.Horrigan等［8］使用两种不同的优化工具，对具有负泊松比效应随机蜂窝结构的力学性能进行了优化。可见，对具有负泊松比效应多胞材料的大量研究已经展开，但主要集中于静力学特性的讨论。与静态及准静态压缩不同，在冲击载荷作用下，结构和惯性效应将主要影响材料的动态响应特性。如何建立胞元微拓扑结构参数与材料宏观动力学性能间关系，也是具有负泊松比效应多胞材料力学特性描述中的一个重要问题。胞元内凹微拓扑结构的变化引起材料中丰富的动力学演化特性还有待于进一步澄清。

本文中，以内凹六边形蜂窝为研究对象，讨论胞元扩张角和冲击速度对蜂窝材料面内冲击性能和能量吸收机理的影响，以期建立具有负泊松比效应多胞材料的宏观动力学响应与胞元扩张角和冲击速度间的内在关联。

1 计算模型

1.1 有限元模型

图2 蜂窝材料的冲击加载示意图Fig.2 Diagrammatic sketch for honeycombs under in－plane impact

面内冲击作用下蜂窝材料的计算模型如图2所示。试件分别由具有相同壁长和壁厚、但不同扩张角θ（扩张角的定义与文献［1］完全相同）的内凹六边形胞元所填充（见图3）。在本文的讨论中，胞元扩张角控制在0～－30°。需要指出的是，当胞元扩张角θ＝－30°时，试件变为规则三角形结构，不属于本文的研究范畴。基体材料为金属铝，采用理想弹塑性模型，杨氏模量Es＝69GPa，泊松比μ＝0.33，屈服应力σys＝76MPa，基体材料的密度ρs＝2.698t／m3。采用显式动力学软件LS－DYNA进行动力学特性模拟［9］，计算中使用Shell 163壳单元（4节点四边形壳单元）进行离散，每条棱边单元数为6（见图4）。为了保证收敛，沿厚度方向取五个积分点。对于变形过程中可能的接触，采用单面自动接触算法。另外，刚性板表面与蜂窝试件的外表面均视为光滑，两者接触无摩擦。采用与文献［10－11］相同的边界条件，即当刚性板沿y方向冲击蜂窝试件时，试件的底端固定，左右两侧自由。另外，为保证变形的平面应变状态，试件中所有节点面外位移均被限制。模型的面外（沿z方向）厚度b＝1mm。

图4 规则蜂窝结构的网格划分Fig.4 Mesh division of a regular honeycomb

表1 具有负泊松比效应蜂窝材料的性能参数Table1 Characteristic parameters for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects

具有负泊松比效应蜂窝材料的相对密度可表示为

式中：ρ＊是蜂窝材料的密度，li是第i个胞壁的长度，ti为相应胞壁的厚度，L1、L2分别是整个试件的宽度和高度。根据方程（1），不同胞元扩张角蜂窝结构的性能参数见表1。

1.2 模型可靠性分析

为了验证有限元模型的可靠性，建立与文献［10］完全相同的计算模型，讨论规则六边形蜂窝材料的面内动态响应特性。图5中给出了刚性板冲击速度v＝7m／s时，六边形蜂窝在y方向的冲击变形特性。由图可见，在基体材料性能、边界条件和加载条件完全相同的条件下，计算结果与文献［10］中面内变形模式基本吻合，证明了该模型的可靠性。

图5 规则六边形蜂窝沿y方向的面内变形模式（v＝7m／s）Fig.5 In－plane crushing deformation of regular hexagonal honeycomb in the ydirection

图6 规则蜂窝材料的动力响应Fig.6 Dynamic response of regular honeycomb

此外，对于蜂窝材料面内动力学特性的模拟，胞元填充数目对模拟结果也有一定的影响。如何有效地捕捉它的态变形特性并保证计算效率，在动态冲击问题的模拟中十分重要。图6中讨论了刚性板的冲击速度v＝7m／s时，胞元填充数目对六边形蜂窝面内动力响应特性的影响。图中名义应力σ为刚性板作用在试件上的压缩反力F与初始横截面面积A 的比值，σ＝F／L1b，名义应变ε为试件沿y方向的相对压缩量，ε＝δ／L2，δ为冲击方向刚性板的压缩位移。研究表明，在x、y方向内填充胞元的数目nx、ny超过10时，动态响应趋于稳定。

在对规则六边形蜂窝材料研究的基础上，本文中将系统地讨论具有负泊松比效应蜂窝（内凹六边形）材料的面内冲击动力学性能。

2 结果讨论与分析

2.1 具有负泊松比效应蜂窝材料的面内冲击响应

图7中给出了不同冲击速度下内凹六边形蜂窝在名义应变ε＝0.4时的面内冲击变形模式。计算结果表明，由于胞元内凹，蜂窝材料的局部应力分布发生了改变。当胞元扩张角较小（如θ＝－5°）时，在低速冲击（v＝7m／s）作用下，局部变形带主要集中在冲击端和固定端，变形带内的胞元沿横向（x方向）表现出局部刚化的特性。从试件的整体变形模态可知，靠近自由边界的胞元处于受拉状态，而处于纵向对称轴附近中部的胞元处于受压状态。这也导致了试件的面内动力响应表现为某种软芯材料（见图7（a）中虚线）。随着胞元扩张角的增加（θ＝－15°），由于塑性绞发生在各个结点处，更容易调动各个胞元发生整体变形，试件冲击端和固定端局部变形带消失，表现为整体均匀的变形模式。随着胞元扩张角的进一步增加（θ＝－25°），试件的相对密度增大（见表1），固定端的胞元首先发生变形，当固定端胞元被压溃之后，冲击端胞元才开始变形。

随着冲击速度的增加（v＝20m／s），不同胞元扩张角蜂窝材料表现出各异的变形模态。当扩张角较小（θ＝－5°）时，变形主要集中在冲击端，并且表现为V型剪切变形模式。随着扩张角的增加，V型剪切变形带逐渐减弱。当胞元扩张角更大（θ＝－25°）时，变形主要集中在冲击端和固定端，且以冲击端变形为主，与规则三角形蜂窝变形类似［11］。当冲击速度接近或超过冲击波速（v＝120m／s）时，惯性效应增强，变形带主要集中在冲击端，对应着从冲击端到固定端I型逐层压溃变形模式，这与其他微结构蜂窝材料基本类似［10－11］。可见，在冲击荷载作用下，具有负泊松比效应蜂窝材料的面内冲击响应主要依赖于胞元扩张角和冲击速度。

图7 具有负泊松比效应蜂窝材料在不同冲击速度下的变形模式Fig.7 Deformation modes of honeycombs with negative Poisson’s ratio effects under different impact velocities

图8中给出了具有负泊松比效应蜂窝材料冲击端刚性板的面内冲击响应曲线。计算结果表明，具有负泊松比效应蜂窝材料的动态响应规律与一般多胞材料相同，即开始阶段，材料动态响应近似于线性；随后进入稳定的平台变形区，直至试件逐渐压缩密实［1］。由于胞元扩张角的不同，蜂窝材料的动态响应各异。胞元扩张角的绝对值越大，试件的平台应力越高，但由于相对密度的增加，锁定应变却相应减小，这种现象随冲击速度增加而更加明显（见图8）。图9中给出了具有负泊松比效应蜂窝材料在固定端的动态响应曲线。在低速冲击荷载（v＝7m／s）作用下，动态响应规律与冲击端基本类似（见图8（a）、图9（a））。随着冲击速度的增加，胞元扩张角对固定端动态响应影响逐渐明显，胞元扩张角的绝对值越小，固定端输出应力越小。尤其在高速冲击荷载作用下，这种现象尤为显著（见图9（c）、9（d））。

图8 具有负泊松比效应蜂窝材料在冲击端的名义应力应变曲线Fig.8 Nominal stress－strain curves for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects at the impact end

图9 具有负泊松比效应蜂窝材料在固定端的名义应力应变曲线Fig.9 Nominal stress－strain curves for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects at the supporting end

2.2 平台应力与质量能量吸收

作为一种高效的阻尼材料，轻质多胞材料已被广泛地应用于各种能量吸收结构中，从各种器件的包装到航空航天飞机的能量吸收器。评估多胞材料与结构能量吸收能力大小的一个重要指标就是质量能量吸收率（即比能量）［12］

式中：εd为锁定应变，可由名义应力再次达到初始应力峰值时所对应的应变确定；εcr为屈服应变，为名义压缩应力达到第一个应力峰值时的名义应变，本文中取εcr＝0.02，以达到较高的计算精度；σ（ε）为随名义应变而变化的名义应力。基于方程（3），图10中给出了不同冲击速度作用下具有负泊松比效应蜂窝材料在冲击端和固定端的平台应力。计算结果表明，冲击端蜂窝材料的平台应力都随冲击速度的增加而增大，与冲击速度的平方几乎成正比。对于相同的冲击速度，蜂窝材料的平台应力随胞元扩张角绝对值的增加而增大（见图10（a）、图11），这也从另一方面反映了蜂窝材料应力分布的不均匀性。与蜂窝材料在冲击端的平台应力类似，固定端平台应力也随胞元扩张角的增加而增大，但随冲击速度的增加却基本保持不变（见图10（b））。

图10 不同冲击速度下具有负泊松比效应蜂窝材料的平台应力Fig.10 Plateau stress for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects under different impact velocities

图11 蜂窝材料冲击端的平台应力随扩张角的变化Fig.11 Variation of plateau stress with respect to expanding angles for honeycombs at the impact end

基于方程（2），图12中给出了具有负泊松比效应蜂窝材料质量能量吸收率与名义应变的关系。由图12可见，在胞元几何尺寸（壁长和壁厚）、材料的相对压缩量和冲击速度不变的前提下，胞元扩张角的绝对值越大，蜂窝材料的吸收质量能量越高。一方面，由于胞元扩张角的增加，相对密度相应增加；另一方面，胞元扩张角越大，试件面内变形更加困难。当胞元扩张角增加到一定值时，试件质量吸收能量变化很小。另外，由图12也可见，随着冲击速度的增加，惯性效应增强，在名义应变一定的条件下，具有负泊松比效应蜂窝材料表现出更强的能量吸收能力。

图12 具有负泊松比效应蜂窝材料的能量吸收特性Fig.12 Energy absorption characteristics for honeycombs with negative Poisson’s ratio effects

3 结 论

针对具有相同几何结构参数（胞元壁长和壁厚）、但不同胞元扩张角的内凹六边形蜂窝，研究了不同冲击荷载作用下蜂窝材料的面内动态冲击特性。研究结果表明，具有负泊松比效应蜂窝材料的面内变形模式主要依赖于胞元扩张角和冲击速度。胞元扩张角的不同改变了蜂窝材料中应力波的传播特性，材料的局部变形模式发生了变化，进而影响了材料的宏观动态响应。在中低速冲击作用下，随着胞元扩张角的增加，试件的动力学响应或者表现为某种软芯材料（θ＝－5°），或者表现为整体变形模式（θ＝－15°），或者表现为局部剪切变形带主要集中在冲击端和固定端 （θ＝－25°）。在胞元壁长和壁厚、名义应变以及冲击速度一定的前提下，胞元扩张角的绝对值越大，冲击端蜂窝材料的平台应力越高。与蜂窝材料在冲击端的平台应力类似，固定端的平台应力也随胞元扩张角的增加而增大，但平台应力随冲击速度的增加却基本保持不变。另外，随着冲击速度的提高，在名义应变一定的条件下，蜂窝材料表现出更强的能量吸收能力。

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