基于微滑移模型的B－G 型叶片干摩擦缘板阻尼器减振特性研究

何尚文，任兴民，秦卫阳，邓旺群

(1.西北工业大学 力学与土木建筑学院工程力学系，西安 710072;2.中国航空动力机械研究所，湖南 株洲 412002)

由于附加干摩擦阻尼器可以有效降低航空发动机叶片振动，叶片附加缘板阻尼器得到了广泛应用，其减振特性的研究具有很重要的理论与实际意义。

干摩擦接触一般为复杂非线性接触，建立准确模拟干摩擦接触的摩擦模型对缘板阻尼器振动问题的研究十分关键。为了解决正压力较大时整体滑动模型的局限性，准确描述接触面上应力的不均匀分布，Iwan［1］提出了弹簧并联/串联模型;Menq［2］对接触面微滑移进行了研究，但计算时没有考虑系统振动可能在完全粘滞阶段稳态的情况;漆文凯等［3］做了重要工作，提出了一种不考虑摩擦面间完全粘滞阶段的解析微滑移模型，得到了广泛应用。本文通过在接触面间引入弹性剪切层来模拟干摩擦接触，考虑系统振动时摩擦接触面间可能经历完全粘滞、局部滑移、完全滑移三个阶段，建立了一种更加贴近工程实际的微滑移模型，用于缘板阻尼器高频及大正压力下的振动及减振特性分析。根据建立的摩擦模型，对摩擦力－位移迟滞曲线及不同外力作用下接触面上的摩擦分布进行了仿真，论证了摩擦面微滑移机理;将工程中的B－G型(叶片－基础型)缘板干摩擦阻尼器模型模化为质量－弹簧系统，利用一次谐波平衡和等效线性化［4－5］相结合迭代求解，对B－G型阻尼器设计中的关键参数进行了研究，揭示了干摩擦减振的本质(阻尼和刚度作用)。

1 微滑移模型及相关仿真

1.1 微滑移模型

假设接触面间有一个弹性剪切层，摩擦接触面间将经历完全粘滞、局部滑移、完全滑移三个阶段，如图1所示。

图1 接触面及弹性剪切层Fig.1 Contact area and elastoplastic shear layer

其中τ为接触面上每单位长度的摩擦力，u为施加外力F后摩擦接触面上点的位移，k为接触面上单位长度刚度，τm=μp，μ为动滑动摩擦因数，式(1)的物理意义为:当接触面上点位移(变形)小于μp/k，这些点将保持粘滞，当等于或大于μp/k，这些点将要滑动或处于滑动状态。在AB段剪切层任取一微元段分析:

图2 微元分析Fig.2 Differential analysis

整理式(2)得式(3):

第一个阶段:当外力F从0开始增加时，接触面间只发生弹性变形，这时接触面间处于完全粘滞阶段(外力F和摩擦力f1相等)。由式(1)、式(3)可知:

式(4)需要满足的边界条件为:

则B端位移u(1)和外力F为:

第二个阶段:当F达到 λEAτmtanh(λ)/kl时，B点开始滑动，产生了滑动区域。F继续增大，从右到左滑动区逐步增大，此时摩擦接触面左边为粘滞区域，长度为(1－Δ)l，每单位长度上的摩擦力为ku;右边为滑动区域，长度为Δl，每单位长度上的摩擦力为τm，如图3(此阶段外力F和摩擦力f1相等):

图3 局部滑移Fig.3 Partial slip

此时摩擦接触面上满足:

方程(9)满足的边界条件为:

由式(9)、式(10)可解得:

第三个阶段:F继续增大，当Δ=1;F=τml时，滑动区域扩展到左端A点，系统达到临界滑动(临界位移值u0由式(11)上，令Δ=1可得)，随后系统开始整体滑移，接触面上摩擦力将符合τ=τm，这时动滑动摩擦力为 f=μpl。

反复的卸载和重复加载过程:为了建立一个振动周期的摩擦力－位移稳态迟滞曲线，需要研究卸载和重新加载。Masing Rule［6］(曼辛规则)指出材料在卸载和再加载过程中力和位移(变形)符合这样的关系式:

其中上式为初始加载时力与位移(变形)的函数关系，xz、Fz分别为卸载或加载过程中转折点的位移(变形)和力。一般研究中，外激励均为简谐激励即对称荷载，局部滑移的迟滞曲线是关于原点对称的。在系统达到临界滑移前任意一点卸载，然后再反复加载卸载，可得稳态时摩擦力f1和B端位移u(1)的迟滞曲线如图4(包含局部滑移、临界滑移、整体滑移三种情况)。

另外，当正压力非常大的情况下系统稳态时幅值会小于τm/k，即系统稳态在完全粘滞阶段，这时摩擦力－位移函数为 f=λEAu(1)tanh(λ)/l;(u(1)≤τm/k)，摩擦力在图中实线范围内循环，附加阻尼器只体现刚度作用，如图5。

图4 摩擦力－B端位移迟滞曲线Fig.4 Steady hysteretic curve of dry friction-displacement

图5 摩擦力－B端位移线性关系Fig.5 Linear relation of dry friction-displacement

1.2 仿真

给定l=0.02 m，EA=4 000 000 N·m，μ=0.3，k=1×1011N/m2，p=20 000 N/m，μ为动滑动摩擦因数，正压力为N=pl=400 N。仿真得摩擦力－位移迟滞曲线如图6、图7。

图6 临界状态(从临界位移卸载)迟滞曲线Fig.6 Hysteretic curve of critical state

图7 局部滑动时迟滞曲线Fig.7 Hysteretic curve of partial slip

图8 完全粘滞时剪切层内摩擦力的分布状态Fig.8 Distribution of dry friction within shear layer during viscous stage

图9 局部滑移时剪切层内摩擦力的分布状态Fig.9 Distribution of dry friction within shear layer during partial slip

由式(8):外力 F 小于 τmλEAtanh(λ)/kl即37.811 6 N，摩擦界面处于完全粘滞阶段;大于τmλEAtanh(λ)/kl小于 μN 时处于局部滑移阶段，图8、图9分别描述了发生完全粘滞和局部滑移时接触面上摩擦力的分布情况。

2 B－G型缘板阻尼器减振特性分析

2.1 模型及分析方法

B－G型叶片缘板阻尼器结构及其模化后的质量－弹簧模型如图10。

图10 B－G阻尼器结构及其模化的质量－弹簧模型Fig.10 B －G platform damper and its mass-spring model

由图10可知，系统动力学方程为:

其中:m为质量，y为振动位移，ks为系统刚度，c为系统自带粘性阻尼系数，f1为系统干摩擦力，值为摩擦力－位移迟滞曲线仿真结果中的离散数据，F0sin(ωt)为外激励。Berthillier［7］认为，当摩擦界面连续不脱离时，一次谐波平衡法可以得到足够精确的结果。对于方程(13)，采用一次谐波平衡和等效线性化相结合进行求解，设其一次谐波稳态解为y=Ysin(ωt+β)。Y为稳态振幅值，u0为临界位移，ke为等效刚度，ce为等效阻尼。将摩擦力看作一个复刚度弹簧，刚度为:ki=ke+iωce。

局部滑动时，迟滞曲线面积即为系统稳态运动时一个周期内阻尼力所作的功W，则有:

由于:

则:

整体滑动:

式(17)中第一个式子的分子为发生整体滑移时一个稳态周期内阻尼力所做的功(平行四边形与临界迟滞曲线面积之和)。

接触面只发生弹性变形，即摩擦力关于位移为线性关系时:

计算思路:先计算不加干摩擦阻尼器时的稳态响应幅值作为迭代初值，计算发生整体滑移的临界位移值u0和发生局部滑移的位移值τm/k，比较迭代初值和u0的大小，若大于u0，则按整体－局部统一滑动模型来计算系统的等效刚度ke和等效阻尼ce;若介于两者之间，则按局部滑动来计算;若小于τm/k，则按线性摩擦力来计算。由振动理论公式，下一个迭代步稳态幅由稳态幅值判断滑动状态并计算ke和ce，再计算下一个迭代幅值，当相邻迭代步的稳态幅值之差小于误差限时认为收敛，得到稳态幅值(迭代计算中每步的稳态幅值即为迟滞仿真中的B端位移u(1))。

2.2 仿真结果及分析

参考工程中的叶片阻尼系统参数，给定m=0.6 kg，ks=7.5×107N/m，F0=5 000 N，c=600 N·s/m。l=0.02 m，EA=4 000 000 N·m，k=1 ×1011N/m2，μ=0.3。先设定正压力荷载集度p=20 000 N/m，正压力N=pl=400 N;ω=8 000 rad/s，令 Y/u0为滑动系数。则等效刚度ke和等效阻尼ce随滑动系数的变化规律如图11、图12。值为:

图11 等效刚度随滑动系数的变化曲线Fig.11 ke－ Y/u0curve

图12 等效阻尼随滑动系数的变化曲线Fig.12 ce－ Y/u0curve

由图11、图12知，在正压力非常大时，Y很小，摩擦界面处于完全粘滞阶段，ke最大且为一恒定值，此时ce为0(图12未画出此段)，阻尼器只体现刚度作用;Y逐步增大，从开始局部滑动，ke随Y逐渐减小而ce则从0逐步增加，在整体滑动阶段的某个Y值，ce有最大值，Y继续增大，ce从最大值逐步减小。需要注意的是，本文模型与不考虑完全粘滞阶段的微滑移模型相比，更接近实际情况。当正压力非常大(即Y很小)时，不考虑完全粘滞会出现ke和ce趋近无穷大的现象，而采用本文模型时ke为一个稳定值，此时阻尼器主要体现刚度作用，ce应很小。

研究动滑动摩擦系数μ对系统减振特性的影响。其它参数不变，μ 分别取 0.2、0.25、0.3、0.35、0.4，仿真结果如图13。

图13 不同摩擦系数下的幅频(角频率)曲线Fig.13 Y － ω curve under different μ

由图13知，μ对系统共振频率影响很小;对系统减振特性有明显的影响，共振区及附近，μ越大，减振效果越好，向右远离共振区(将图13角频率大于16 000部分局部放大)，减振效果不随μ增大而更好。

假定叶片工作频率为3 000/π(Hz)，研究工作频率下稳态幅值随正压力的变化规律，仿真结果如图14。

图14 不同外激励下系统的稳态幅值－正压力曲线Fig.14 Y － N curve with different F0

由图14知，在工作频率下外激励一定时，系统稳态幅值随正压力增加而减小，正压力增大到一定值后，减振效果基本不再改善，即存在一个正压力范围，在此范围内系统工作频率下稳态幅值减振效果最佳，且外激励增大达到最佳减振效果需要的正压力的取值也将增加，反之减小。

其它参数不变，研究外激励对系统振动特性的影响，仿真结果如图15。

图15 不同外激励下系统的幅频曲线Fig.15 Y － ω curve with different F0

由图15知，当外激励增加时，系统出现了刚度软化，即外激励增加导致阻尼器刚度效果减弱从而使系统共振频率减小，反之增加。

其它参数不变，研究正压力变化对叶片系统振动及减振特性的影响，仿真结果如图16。

图16 不同正压力下的幅频曲线Fig.16 Y － ω curve with different normal force

图16中计算了五种正压力和正压力非常大(摩擦力线性)共6种工况下的幅频响应。随着正压力增大，共振峰值先减小后增大，N=25 000 N时最小，说明一定工况下存在一个最佳正压力使得干摩擦阻尼系统共振峰值最小;同时随着正压力增大，系统共振频率增加，增加到一定值后，由于阻尼器只体现刚度作用且刚度为恒定值，共振峰值频率不变。

3 结论

(1)考虑摩擦接触面间完全粘滞阶段作用建立的微滑移模型更符合工程实际，改进了微滑移模型。分析结果表明阻尼器对振动的抑制主要体现为刚度和阻尼作用。正压力较小或外激励幅值较大时，阻尼和刚度作用均较弱;正压力较大或外激励幅值较小时，刚度作用明显，阻尼作用不一定明显;在整体滑移阶段存在阻尼的最大值。

(2)动滑动摩擦系数对共振峰值频率基本无影响，对共振区减振特性有明显影响。

(3)一定频率下，存在一个正压力范围使得系统稳态幅值减振效果最好，超过这个范围继续增大正压力对减振效果无明显改善;外激励增加，这个正压力范围取值也增加，反之减小。外激励幅值增加会导致系统刚度软化，系统共振频率减小;反之增加。

(4)其它参数一定时，存在一个最佳正压力使系统共振幅值最小，系统共振频率随正压力增加而增大，到一定值后不变。B－G型缘板阻尼器设计必须综合考虑叶片共振峰值和工作频率下稳态幅值的减振效果。

［1］Iwan W D.On a class of models for the yielding behavior of continuous and composite systems［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1967，89:612 －617.

［2］Menq C H ，Griffin J H，Bielak J.The influence of a variable normal load on the forced vibration of a frictional damped system［J］.ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，1986，108:300 －305.

［3］漆文凯，高德平.带摩擦阻尼装置系统振动响应分析方法研究［J］.航空动力学报，2006，21(1):167 －173.

［4］闻邦椿，李以农，许培民，等.工程非线性振动［M］.北京:科学出版社，2007.

［5］白鸿柏，张培林，黄协清.非恒定滑动摩擦系数振动系统等效线性化计算方法研究［J］.振动与冲击，2001，20(1):77－80.

［6］李 亮，赵成刚.饱和土体动力本构模型研究进展［J］.世界地震工程，2004，20(1):138－148.

［7］Berthillier M，Dupont C，Mondal R，et al.Blade forced response analysis with friction dampers［J］.Transaction of the ASME Journal of Vibration and Acoustics， 1998， 120:468－474.