基于附加质量法的大型固定顶储液罐基底隔震分析

张兆龙，高博青，杨宏康

(浙江大学 建筑工程学院，杭州 310058)

立式钢制储液罐是石油、化工等企业及国家战略石油储备计划中的重要设施，且单罐容量有向大型化发展的趋势。为保护罐内储液，大型储液罐固定顶盖常采用单层球面网壳结构[1]。地震破坏是储液罐最主要的破坏形式，其抗震设计常采用两种方法:刚性设计法和柔性设计法。前者通过提高钢材强度、增加罐壁厚度等措施，来增加储液罐的抗震能力，但会增加工程造价及钢板焊接难度;后者在不提高罐体自身强度的前提下，通过设置耗能阻尼器、隔震支座等装置，消耗储液罐吸收的地震能量，从而达到抗震的目的。在各类隔震支座中，摩擦摆(Friction Pendulum System，FPS)隔震支座因其良好的自身性能和隔震效果，被广泛地应用于房屋、桥梁等建筑结构中[2]。大型储液罐罐体是弹性薄壳结构，地震激励下的运动表现为流固耦合现象，涉及到多重非线性问题，存在数值求解效率低等问题[3]。目前，储液罐基底隔震分析常采用简化的Haroun-Housner模型[4]，即将罐内液体等效为对流质量Mc、柔性脉冲质量Mi和刚性脉冲质量Mr，并通过不同刚度的弹簧与罐壁连接，如图1。孙建刚等[5]基于此简化模型，建立了隔震储液罐体系的运动控制方程，系统地阐述了储液罐基底隔震的基本理论。Malhotra、Panchal等[6－10]采用此简化模型，研究了各种常用隔震支座对储液罐的减震效果及其隔震机理，指出各种隔震支座能够有效地降低储液罐的地震总响应。但是，Haroun-Housner模型是三质点弹簧质量模型，只能从线性角度跟踪储液罐地震总响应。针对大型固定顶储液罐，在合理的简化模型基础上，考虑到上部顶盖与下部罐体的协同工作性能、变壁厚的罐壁及动力非线性效应等结构及性能特点，从罐壁变形及受力角度研究基底隔震储液罐的非线性动力响应，更能真实地反映基底隔震支座对储液罐的减震效果。

本文基于附加质量法，建立储液罐三维简化的附加质量模型，通过不同的数值模型，验证了附加质量模型的合理性。针对某大型固定顶隔震储液罐，从基底总剪力、水平晃动位移及网壳节点位移等方面，初步研究了FPS隔震支座在不同场地条件的隔震效果。进一步从罐壁变形及受力性能角度，分析了基底隔震前后储液罐在不同场地条件下的非线性地震动力响应。最后，在简化模型的基础上，探讨了基底隔震支座分别对脉冲分量和对流分量的减震效果。

1 附加质量模型的建立及验证

Housner理论[11]认为，水平地震激励下罐内液体按运动形式分为两种:脉冲分量和对流分量。前者随罐体一起运动，是一种短周期运动，对罐壁产生脉冲压力;后者在液体自由表面处运动，是一种长周期运动，对罐壁产生对流压力，通常认为两种运动形式是不耦合的。基于此思想，附加质量法将液体脉冲分量等效为分布质量附着在罐壁上，以质量运动代替液体脉冲运动，而忽略其它部分液体的作用。Juan等[12－13]基于附加质量法原理，借助于有限元程序ABAQUS，忽略液体对流分量，建立了不同高径比储液罐的附加质量模型，系统地研究了储液罐的基本周期、基本模态及脉冲压力分布等若干问题;同时，又在附加质量模型的基础上，研究了储液罐动力稳定性问题。可以说，附加质量法避免了因求解流固耦合问题而带来的困难，提高了数值计算的效率，是一种解耦的算法。

1.1 液体对流质量

相对于液体脉冲分量，对流分量对储液罐基底总剪力贡献很小[14]，主要用于计算液体的晃动波高，常等效为单质点弹簧体系。根据合力相等原则，在三维简化模型中，将其扩展为单质点多弹簧体系，如图2所示。

图1 Haroun-Housner模型Fig.1 Haroun-Housner model

图2 单质点多弹簧体系Fig.2 Single-mass system with multiple springs

假设图1、2中两体系发生水平位移Δ，则Haroun-Housner模型中Mc的水平惯性力F1:

单质点多弹簧体系中Mc的水平惯性力F2:

令 F1=F2，可得:

式中:Kcn为单质点多弹簧体系中单根弹簧刚度，n为弹簧根数;Kc为体系弹簧总刚度，可由Kc=(2π/Tc)2Mc求得，Mc为液体对流总质量，Tc为液体对流运动的基本周期，可由下式求得:

式中:Cc为液体对流运动基本周期系数，R为罐体半径。Mc、Cc及对流质量到罐底距离Hc的取值可参考文献[10]。

1.2 液体脉冲质量

水平地震激励下，液体对罐壁某点的脉冲压力，等效于在该点附加一定质量的液体与罐壁一起运动而产生的惯性力，故脉冲压力的分布决定了脉冲质量在罐壁上的附着形式。Veletsos等[15]基于罐体刚体运动假设提出脉冲压力公式:

式中:Pi为液体脉冲压力;η=z/HL，z为罐壁某点到罐底的距离，HL为液体高度，ci(η)确定了脉冲压力沿罐壁高度的分布;θ为罐壁某点在柱面坐标系下的方位角;ρω为储液密度;üg(t)为当地水平加速度。

图3 惯性力的分解Fig.3 Decomposition of nertia force

假定罐壁某点附着质量mi，在水平加速度 üg(t)激励下，将其惯性力沿罐壁法向和环向分解，如图3所示，其法向分量即为液体脉冲压力:

由此可得罐壁上脉冲质量大小:

考虑到罐壁有限元网格尺寸，实际附着在罐壁每个节点上脉冲质量大小为:

式中:Δh、Δb分别为罐壁矩形有限元网格尺寸大小。由式(7)可以看出，罐壁某点附着脉冲质量的大小只和该点到罐底距离z及罐壁有限元网格尺寸Δh、Δb有关，而和θ无关，即同一罐壁高度处，附加质量沿罐壁环向大小不变。为抵消惯性力环向分量对罐壁的作用，将脉冲质量通过刚性杆件与罐壁相连，同时约束杆件端部的竖向和环向自由度，使质量的运动具有方向性，即只能沿罐壁法向运动，从而更加真实地模拟了液体的脉冲运动。

1.3 附加质量模型的验证

Panchal等[9]采用 Haroun-Housner模型，研究了不同高径比的两类储液罐在水平地震激励下的动力响应。为验证附加质量模型的合理性，采用此两类储液罐:矮罐(H/R=0.6)、高罐(H/R=1.85)，其中高罐半径R=6.11 m，矮罐半径 R=24.33 m，壁厚与半径之比th/R均为0.004，罐壁弹性模量E=200 GPa，液体充满罐体，密度ρω=1 000 kg/m3，基础锚固。基于附加质量法，考虑对流质量和脉冲分量，建立其附加质量模型。同时，借助于通用有限元程序ANSYS中的流体单元，模拟罐内液体，假定液体为无粘性、无压缩性、无旋转的理想流体，建立其流固耦合模型。通过基底总剪力V、对流质量水平晃动位移xc、罐壁径向位移xr及竖向压应力 σz等指标，分析比较两类储液罐的 Haroun-Housner模型、附加质量模型和流固耦合模型在相同水平地震激励下的弹性动力响应。计算结果见表1、2，其中:PGA为地震加速度峰值，g为重力加速度。

表1 H/R=0.6时储液罐三种数值模型计算结果Tab.1 Results calculated of three numerical models of tank with H/R=0.6

表2 H/R=1.85时储液罐三种数值模型计算结果Tab.2 Results calculated of three numerical models of tank with H/R=1.85

由表1、2结果可以看出，水平地震激励下两类储液罐的附加质量模型与流固耦合模型在基底总剪力方面有很好地吻合，而Haroun-Housner模型与流固耦合模型的结果有较大的偏离。同时，附加质量模型和Haroun-Housner模型在晃动位移方面有较好地近似。从罐壁变形及受力角度来看，矮罐附加质量模型的结果略大于其流固耦合模型的结果，而高罐附加质量模型的结果略小于其流固耦合模型的结果，但总的来说，附加质量模型较好地吻合了流固耦合模型的计算结果，且提高了数值计算的效率，可以作为储液罐三维分析的一种简化手段。

2 FPS隔震支座力学模型

考虑FPS隔震支座各方向单独受力，其单向恢复力模型可用Bouc-Wen模型模拟，表示为弹性硬化分力和滞后分力的组合[2，10]:

式中:F为FPS支座水平方向的恢复力;K2为屈后硬化刚度，代表摆锤支座恢复力产生的弹性刚度，可由K2=W/Rb求得;W为支座所承受的竖向荷载，通常取上部结构的自重;Rb为支座滑面曲率半径;u为支座水平位移;sgn为正负符号函数;μ为FPS支座滑面的动摩擦系数，可由下式求得:

式中:μmax、μmin分别为支座滑面最大滑移速度及接近零速下的摩擦系数，α为控制摩擦系数随滑移速度变化程度的参数。μmax、μmin和α与滑面所用摩擦材料的性质有关，大小可由实验得到。

需注意的是，FPS隔震支座在水平两方向的恢复力模型是耦合的，而文献[2]表明这种耦合效应对规则结构的单向地震响应影响不大，故本文忽略FPS隔震支座双向耦合效应对储液罐地震响应的影响，其恢复力模型采用简单的Bouc-Wen模型。

3 大型基底隔震储液罐地震响应分析

3.1 大型基底隔震储液罐附加质量模型的建立

某大型固定顶储液罐，罐体半径R=30 m，罐高H=20 m，高径比 H/R=0.67，为矮罐，储液高度 HL=17.23 m。罐壁采用“变壁厚”设计，共10层，壁厚从下层到上层分别为30～10 mm，16 MnR钢材，弹性模量E1=207 GPa;上部顶盖为单层球面网壳结构，凯威特型与联方型网格混合布置，网壳矢高f=10 m，杆件尺寸HN250×125，6060－T6铝材，弹性模量 E2=71 GPa。罐壁顶部沿环向布置一道槽型钢圈梁，作为上部网壳的支座，尺寸为500×250×12×18，Q235－A钢材。

大型储液罐常在罐底设置一道钢筋混凝土环梁，作为罐体的基础，环梁内回填沙土[16]。本文在基础环梁上布置54个FPS隔震支座，沿其环向均匀分布，FPS隔震支座球形滑面半径Rb=4 m，屈服(滑移前)位移uy=0.5 mm，滑动位移限值d=120 mm，忽略支座滑面摩擦系数随滑移速度的变化，取库伦摩擦系数μ=0.02。

借助于通用有限元程序ANSYS，考虑液体对流质量和脉冲质量，建立大型固定顶储液罐基底隔振与不隔振的附加质量模型，分别记为FPS模型和NFPS模型。两模型中基础锚固，上部网壳顶盖支座铰接，考虑材料非线性，采用理想弹塑性模型。

3.2 地震动的选择

美国地震勘测中心(United States Geological Survey，USGS)以场地土剪切波速分别为大于750 m/s、360～750 m/s、180 ～360 m/s及小于180 m/s，对其进行划分，将地震记录分为四组[17]。本文按此划分标准，从美国加州大学地震动数据库中选择代表不同场地条件的4条地震记录，对应场地条件分别记为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类，见表3。按我国《立式油罐设计规范》将各条地震记录的PGA统一调整到9度抗震设防烈度下。

表3 4条地震记录及其地震动参数Tab.3 4 earthquake records used in the study

3.3 非线性地震响应分析

隔震储液罐主要设计参数有基底总剪力V、对流质量水平晃动位移xc及支座滑动位移xb等。其中基底总剪力V是罐壁轴向应力计算的重要依据;水平晃动位移xc决定了液体的晃动波高，而xb是FPS隔震支座设计的重要参数。对于上部网壳顶盖，所有节点竖向位移幅值的最大值xz体现了结构的刚度水平，过大的节点位移会使网壳发生失稳而退出工作，而圈梁轴力N是其设计的主要参数，圈梁屈曲不仅使上部顶盖因支座水平位移过大而提前破坏，同时会导致罐体上部发生局部破坏。储液罐附加质量模型中，可以跟踪罐壁的变形，使得罐壁最大径向位移xr可以作为其地震响应的评价指标。为便于比较隔震前后各壳层间的相对变形，在动力时程分析时不考虑罐壁净水压力，对隔震和不隔震储液罐的简化模型进行不同场地条件下地震非线性时程分析，计算结果见表4。图4～7分别为Ⅳ类场地条件下隔震与不隔震储液罐基底总剪力、晃动位移及网壳节点竖向位移等相关参数的时程曲线，图8为罐壁变形最大处节点径向位移时程曲线，图9为基底隔震支座滑移位移时程曲线。

表4 不同地震记录下隔震与不隔震储液罐的最大反应Tab.4 Maximum response of isolated and non-isolated storage tanks under different earthquake records

图4 基底总剪力时程曲线Fig.4 Time history curve of whole base shear

由表4及图4～8的结果可以看出，水平地震激励下，储液罐基底总剪力随着场地条件的不同，其减震率不同，其中在Ⅱ类场地条件下减震效果最明显。但总体来说，FPS隔震支座对基底总剪力起到了很好地控制作用，减震率均在80%以上;在对流分量方面，基底隔震后，除Ⅰ类场地条件外，水平晃动位移幅值均有一定程度地提高，其中在Ⅳ类场地条件下位移增幅最大，这是由于液体对流运动是一种长周期运动，而Ⅳ类场地的基本周期更接近其运动的基本周期，可见FPS隔震支座对晃动分量没有很好地控制作用，可能放大液体的对流运动，使罐内液体因晃动过大而发生泄漏;对于上部网壳结构顶盖，四类场地条件下，基底隔震前网壳节点竖向位移最大值为104.5 mm，而基底隔震后竖向位移明显地减小，可见网壳顶盖的地震响应得到了有效的控制。同时，基底隔震后圈梁轴力得到了显著的改善，下部罐体与上部网壳顶盖相对变形较小，两者趋向于同步运动;对于FPS隔震支座，不同场地条件下，最大滑动位移为81.6 mm，小于其滑移限值，说明FPS隔震支座在此设防烈度下有很好的稳定性能。

图5 水平晃动位移时程曲线Fig.5 Time history curve of horizontal sloshing displacement

图6 网壳节点竖向位移时程曲线Fig.6 Time history curve of dome vertical displacement

图7 圈梁轴力时程曲线Fig.7 Time history curve of ring beam axial force

图8 罐壁径向位移时程曲线Fig.8 Time history curve of tank radial displacement

图9 隔震支座位移时程曲线Fig.9 Time history curve of isolated bearing displacement

图10 Ⅰ类场地条件下罐壁径向位移Fig.10 Tank radial displacement under classⅠsite

图11 Ⅱ类场地条件下罐壁径向位移Fig.11 Tank radial displacement under classⅡsite

图12 Ⅲ类场地条件下罐壁径向位移Fig.12 Tank radial displacement under classⅢsite

图13Ⅳ类场地条件下罐壁径向位移Fig.13 Tank radial displacement under classⅣsite

图10 ～13分别为四类场地条件下罐壁径向位移最大时其在θ=0处沿高度的变形图。由图可以看出，基底隔震后，罐壁各层径向位移得到了明显地减少，说明隔震支座对罐壁变形起到了很好地控制作用。

水平地震激励下，“象足”屈曲是立式储液罐典型的破坏形式，其产生机理是由于罐壁根部轴向压应力σz超过临界屈曲应力σcr而导致的，常采用壳体稳定理论作为罐壁“象足”屈曲的判断准则[16]。环向应力作用下，圆柱壳轴压失稳临界应力σcr=(0.25～0.125)·Et/R，其中t为罐壁厚度，本文取失稳临界应力上限值0.25Et/R作为罐壁屈曲的判断准则。表5列出了隔震与不隔震储液罐在四类场地下罐壁最大轴压应力发生位置、相关壳层厚度 t及径向位移xr等参数，其中:“√”表示罐壁屈曲，“×”表示罐壁未屈曲。

由表5可知，隔震与否，罐壁的最大轴向压应力位置往往在中上部，此时径向位移达到最大值，罐壁(θ=0处)沿高度变形如图10～13所示，这是由于大型储液罐采用“变壁厚”的设计思想，使得中上部较薄壳层是其地震作用下屈曲破坏的控制壳层，而根部由于罐壁相对较厚，不会因轴向压应力超过临界屈曲应力而发生“象足”屈曲。在四类场地条件下，基底隔震前，罐壁中上部最大轴向压应力都超过其临界屈曲应力，此时罐壁已进入塑性，产生较大的径向位移;基底隔震后，罐壁最大轴向压应力的位置有所上移，多发生在上部，但各壳层之间相对位移较小，罐体趋向于刚体运动，罐壁最大轴向压应力均未超过临界屈曲应力，同时罐壁未进入塑性。可见FPS隔震支座对罐壁应力起到了很好的控制作用，有效地降低了罐壁轴向压应力的幅值，避免了罐壁发生屈曲破坏，保证了大型储液罐有充裕的安全储备。

我国储罐鉴定标准采用反应谱法计算基底总剪力时，考虑到液体对流分量相对于脉冲分量对储液罐地震总响应贡献很小，故忽略对流质量，而美国API650和欧洲EC－8规范同时考虑两者的作用[14]。为研究基底隔震前后脉冲分量和对流分量对储液罐地震总响应的贡献，在简化分析模型中，将两者单独考虑，分别建立基底隔震与不隔振储液罐的附加质量模型，对其进行不同场地条件下的地震响应分析，结果见图14与图15，其中:Vi、Vc分别表示由脉冲质量和对流质量引起的基底总剪力，即脉冲基底总剪力和对流基底总剪力。由图14可以看出，基底隔震前，对流基底总剪力幅值相对脉冲基底总剪力幅值很小，最大只有脉冲基底总剪力幅值的5.3%，此时可忽略对流分量对基底总剪力的贡献。而基底隔震后，由图15可以看出，对流基底总剪力幅值与脉冲基底总剪力幅值的比值最大可达到57.5%，此时不能忽略对流分量对基底总剪力的贡献，但两者幅值不同时发生。以Ⅳ类场地地震计算结果为例，对流基底总剪力和脉冲基底总剪力幅值分别发生在 7.10 s、6.01 s，考虑两者作用，在计算总的基底剪力幅值时，宜采取平方和开平方(SRSS)的方法。同时，通过对比图14、15的结果，可以发现，不同场地条件下，FPS隔震支座显著地降低了脉冲基底总剪力的幅值，但增大了对流基底总剪力的幅值，可见基底隔震支座能够有效地控制了液体的脉冲运动，但放大了液体的对流运动，图16为Ⅳ类场地条件下隔震前后对流基底总剪力在前20.0 s的时程曲线。

表5 不同场地条件下隔震与不隔震储液罐罐壁最大轴向压应力及屈曲位置Tab.5 Maximum axial compressive stress and buckling location of isolated and non-isolated storage tanks under different site conditions

图14 隔震前脉冲、对流基底总剪力幅值的对比Fig.14 Contrast of whole impulsive and convective base shear amplitude without isolation

图15 隔震后脉冲、对流基底总剪力幅值的对比Fig.15 Contrast of whole impulsive and convective base shear amplitude with isolation

图16 对流基底总剪力时程曲线Fig.16 Time history curve of whole convective base shear

4 结论

(1)借助于通用有限元程序ANSYS，基于附加质量法，建立了储液罐三维简化的附加质量模型。通过分析比较相同水平地震激励下不同高径比储液罐的Haroun-Housner模型、附加质量模型和流固耦合模型的结果表明，Haroun-Housner模型与流固耦合模型结果有较大的偏差，而附加质量模型与流固耦合模型结果有很好地吻合，且提高了数值计算的效率。

(2)考虑上部网壳顶盖与下部罐体协同工作性能，大型储液罐在不同场地条件下，FPS隔震支座对基底总剪力、网壳竖向位移及圈梁轴力等均具有一定的隔震效果，但减震率不同。同时，FPS隔震支座放大了对流分量的运动，增大了对流基底总剪力和水平晃动位移。

(3)FPS隔震支座对储液罐的变形及受力性能起到了显著的控制作用。基底隔震前，罐壁中上部往往因轴向压力超过临界屈曲应力而产生较大的径向位移，而隔震后，罐壁轴向压应力得到了明显的控制。

(4)基底隔震前，对流基底总剪力相对于脉冲基底总剪力很小，此时可忽略液体的对流运动;基底隔震后，对流基底总剪力与脉冲基底总剪力的幅值比值最大可达到57.5%，此时不能忽略液体对流分量对储液罐地震总响应的贡献。

[1]黄 锋.网壳拱顶在大型固定顶储罐中的应用[J].南京化工大学学报，2000，22(3):39－42.

[2]焦驰宇，胡世德，管仲国.FPS抗震支座分析模型的比较[J].振动与冲击，2007，26(10):113－117.

[3]Wolfgang A W，Steffen G，Ekkehard R.A strong coupling partitioned approach for fluid-structure interaction with free surfaces[J].Computers ＆ Fluids，2007，36(1):169 －183.

[4]Haroun M A.Vibration studies and tests of liquid storage tanks[J].Earthquake Engineering ＆ Structural Dynamics，1983，11(2):179－206.

[5]孙建刚，王向楠，赵长军.立式储罐基底隔震的基本理论[J].哈尔滨工业大学学报，2010，42(6):639－ 643.

[6]Malhotra P K.New method for seismic isolation of liquidstorage tanks[J].Earthquake Engineering ＆ Structural Dynamics，1997，26(8):839－847.

[7]Shrimali M K，Jangid R S.Seismic response of base-isolated liquid storage tanks[J].Journal of Vibration and Control，2003，10(9):1201－1208.

[8]Emre A，Eren U.Parametric analysis of liquid storage tanks base isolated by curved surface sliding bearings[J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2010，30(1－2):21－31.

[9]Panchal V，Jangid R.Seismic response of liquid storage tanks with variable friction pendulum isolation[J].Journal of Civil Engineering，2011，15(6):1041－1055.

[10]Zhang R F，Weng D G，Ren X S.Seismic analysis of a LNG storage tank isolated by a multiple friction pendulum system[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2011，10(2):253－262.

[11]Housner G W.The dynamic behavior of water tanks[J].Bulletin of the Seismological Society of America，1963，53(2):381－387.

[12]Juan C V，Luis A G，Luis E S.Fundamental modes of tankliquid systems under horizontal motions[J].Engineering Structures，2006，28(10):1450－1461.

[13]Juan C V，Luis A G，Luis E S.Dynamic buckling of anchored steeltankssubjected tohorizontalearthquake excitation[J].Journal of Constructional Steel Research，2006，62(6):521－531.

[14]李 杨，李自力，张 艳.中美欧储罐抗震规范中地震作用的比较研究[J].世界地震工程，2009，25(1):122－130.

[15]Veletsos A S，Shivakumar P.Tanks containing liquids or solids[M].Southampton(UK):Computational Mechanics Publications，1997.

[16]陈志平.大型非锚固储油罐应力分析与抗震研究[D].杭州:浙江大学，2006.

[17]马千里，陆新征，叶列平.层屈服后刚度对地震响应离散性影响的研究[J].工程力学，2008，25(7):133－141.