篮球比赛决胜时刻最佳策略的量化与分析

王玉峰，郑 旗

当代篮球比赛的竞技水平发展到了一个前所未有的高度，世界篮球强国之间的竞技水平相当接近，高水平篮球队之间比赛的竞争已日趋白热化，比赛更加胶着，难分高下。毫厘之差就很可能导致比赛的失利。NBA著名助理教练员戴夫·沃尔曾指出，在 NBA比赛的任何一个赛季，只有不到25%球队的平均得失分率在六分以上，一支球队在比赛中有20%～40%胜负只在六分之间甚至更少。可以想象，一支球队的输赢往往由上下半场结束前最后几秒的一个三分球，或在任何一个单节比赛结束前的三个两分球所决定。就2010-2011赛季NBA季后赛而言，所进行的82场比赛中，比赛结果分差小于六分(含六分)的有29场，分差小于三分(含三分)的有13场。在比赛最后关头经常出现比分领先的球队被对手三分绝杀或拖入加时赛情况，这是运气不好还是策略不佳?在被绝杀之前采用何种策略才能在最后时刻保住微弱优势以获取比赛的胜利?采用何种犯规战术策略更佳?本论文以领先队领先三分的比赛情境为切入点，利用数学模型量化分析采用常规防守和主动犯规决策时可能出现的情况，并通过实际比赛数据和研究假设进行实例分析。

1 研究对象与方法

1.1 研究对象

本研究以高水平篮球比赛决胜时刻的最后一次攻防策略为研究对象。

1.2 研究方法

1.2.1 文献资料法 查阅NBA中国官网筛选本研究所需要的技术指标，阅读有关与篮球比赛决胜时刻、最后时刻战术策略相关的文献资料，通过分析与借鉴，为本文所作的假设与论断提供理论依据。

1.2.2 数理统计法 利用 NBA官网对2010—2011赛季NBA比赛文字直播对部分比赛数据进行统计，并将比赛决胜时刻采用不同的战术决策所可能出现的情况建立分析模型进行量化分析。

1.2.3 逻辑分析法 将研究结果与比赛中战术决策的实际运用情况进行比较并进行逻辑分析。

2 数学建模分析的结果与讨论

2.1 相关术语的解释说明与逻辑假设

2.1.1 相关术语的解释与说明 为比较决胜时刻战术决策的优劣，在进行讨论与分析之前，对论文中将会出现的相关术语作出解释与说明。

在比赛中各种比赛情境发生的可能性记作为:概率P加该术语英文名称的简写字母。如:进攻方抢得前场篮板球(offensive rebound)的概率记作Por;防守方抢得篮板球(defensive rebound)的概率记作Pdr;三分球(3 points)投中的概率记作P3pt;在激烈对抗下抢投三分球(3 points in desperation)命中的概率记作P3ptd;补篮进球(tip in)(包括补篮和快速投篮)的概率记作Pti;罚球(free throw)罚中的概率记作Pft;球未出手(no shot)的概率记作Pns;打加时赛(overtime)获胜的概率记作Pot。

2.1.2 相关比赛情境的逻辑假设 虽然比赛中的实际情境比假设更为复杂、多变，但为了简化分析，论文进行了一些合理的研究假设并接受以上假设成立，即认为各假设情境能够在比赛中出现，相关假设如下:

(A1)不论落后队进球还是领先队抢得防守篮板球，剩余比赛时间都不足以使领先队完成一次进攻，但够进攻方完成补篮或一次抢得篮板球后立即出手投篮;(A2)假定落后队连续两次抢得篮板球的情况不会出现。此情况发生需要落后队在比赛中第一次出手投篮不中+抢得前场篮板球+补篮不中+二次抢得篮板球，其概率为P=(1－P3pt)×Por×(1-Pti)×Por，由下1可推算其发生的可能性约为0.001 8，属于极小概率事件，因此假定该情况不会出现;(A3)在决胜时刻，落后三分的球队在作最后一投时会选择投三分球以保证不输掉比赛，而不是投两分球;(A4)双方的犯规次数已经达到了犯规后就罚球的次数，即使领先队防守时犯规，即使对手没有做出试投动作，也要罚球;(A5)落后队在罚球时剩一次罚球机会，但落后多于一分时，则会选择在第二罚故意将球罚失，然后抢篮板补篮、抢投两分球或拉到外线投三分(依落后分数而定，剩一次罚球，落后两分，则抢得前场篮板球后，会直接出手投篮，而不是将球拉到外线投三分球;落后三分的话，会将球将球拉出投三分球);(A6)假设落后队抢投三分球命中的概率P3ptd为0.2，在领先队防守下三分球未出手的概率Pns为0.1，抢得前场篮板球后补篮、抢投两分球成功的概率Pti为0.8，如果双方进入加时赛，获胜的概率Pot各为0.5。

2.2 基于逻辑分析与假设下不同战术决策的胜率分析

2.2.1 领先队采用常规防守策略下获胜的可能性分析 针对决胜时刻领先队采用常规防守所可能出现的比赛情境，大卫·安尼斯曾对其建立了树状比赛结果模型进行分析。本文在此基础上对其分析模型进行简化与处理，以领先队是否进行常规防守为切入点，以落后队的行动结果为分析对象来计算其获胜的可能性，以箭头最末端显示领先队的比赛结果。综上所述，领先队常规防守所可能出现的情况如树状见图1所示:

图1 领先队采用常规防守策略可能出现的情况

根据图1可知，在常规防守策略下领先队获胜的途径有:(1)落后队球未出手，比赛结束，领先队获胜;(2)落后队投中三分球，双方打加时赛，领先队在加时赛中获胜;(3)落后队投三分球未中篮，抢得前场篮板球，再抢投三分球，双方打加时赛，领先队在加时赛中获胜;(4)落后队投三分球未中篮，抢得前场篮板球，再抢投三分球仍未中篮，默认领先队获胜(比赛时间结束、领先队获得后场篮板球或落后队无出手投三分球的机会或投篮未进等);(5)落后队三分投失后，未抢得前场篮板球，则领先队获胜(此时，落后队落后三分且失去球权，如果不犯规，时间结束;犯规，领先队两罚全进落后五分，二进一落后四分;两罚全失则落后三分获得球权，但比赛剩余时间更少，获胜的可能性更低)。结合以上五种可能，常规防守下领先队获胜的可能性用数学公式可表示为:

2.2.2 领先队采用提前主动犯规策略下获胜可能性的分析 首先需要说明的是领先队所采用的提前犯规是指在对手出手投篮之前所采用的一般性犯规(非恶意犯规或三分投篮区的犯规)。根据逻辑分析可得知，第一次罚球对可能出现的比赛结果有重要影响，但不论第一罚是罚中还是罚失，第二罚必须要故意罚失。第一罚是否罚进所影响的只是进攻方在第二罚故意罚失之后得分的策略(补篮或者投三分球)，见(A5)。

另外，在比赛中有教练员会担心故意犯规会有可能使对手在罚中一球后，故意罚失第二球然后抢进攻篮板球，再将球拉到外线抢投三分中篮，在常规赛段就输掉了比赛。但根据概率分析，此情况发生的可能性为P=Pft×Por×P3ptd，由表1可推算得出其发生概率为属于小概率事件，所以假设这种可能性不存在。另外临近比赛结束且比分落后，如果有追平的机会，根据合理逻辑推断，落后方会抓住一切得分机会追平比赛，而不会冒险去打更复杂、难度更高的三分战术。另外从概率上进行计算，这也非上等策略，因此排除该策略出现的可能。但如果该情况出现，对于落后队来说是最好的结果。根据以上推论，同样借助大卫·安尼斯建立的数学分析模型分析领先队获胜的可能性如树状见图2所示:

图2 领先队采用提前主动犯规策略可能出现的情况

由图2可得，领先队主动犯规获胜的途径有:(1)落后队第一罚罚中，第二罚采用罚球战术，主动将球罚失后抢得前场篮板球，然后成功补篮，最后在加时赛中领先队获胜;(2)落后队第一罚罚中，第二罚主动罚失后抢得前场篮板球，然后补篮未进，领先队获胜;(3)落后队第一罚罚中，第二罚罚失后未抢到前场篮板球，基本确定领先队获胜(在这种情况下领先队领先两分且拥有球权，如果落后队不犯规，领先队胜;采用犯规，两罚全中领先四分，落后队翻盘可能性极小;两罚一中，则领先三分，双方回到分差原点，但比赛时间更少，对领先队更有利;领先队两罚全失且落后队最后一攻打成，才有追平或反超的机会，此情况发生的概率极低，因此确定领先队获胜);(4)落后队第一次罚球就将球罚失，然后抢得前场篮板球，再抢投三分球，双方进入加时赛，在加时赛中领先队获胜;(5)落后队在第一次罚球未进，然后抢得前场篮板球后抢投三分球未进，领先队获胜;(6)落后队第一次罚球将球罚失后未抢得前场篮板球，领先队获胜。综上所述，领先队获胜的可能性用数学公式可表示为:

2.2.3 不同战术决策下比赛结果的量化分析与讨论 虽然上述两个数学公式在理论上得出了领先队在决胜时刻采用常规防守和提前主动犯规的理论结果与模型，但为了量化推论的结果并利用实战的概率来检验，需要将比赛实际值代入胜率量化公式(1)和(2)计算出在常规防守下P防与提前主动犯规P犯战术决策的具体值，利用值的大小来量化比较两种决策下领先队获胜的概率。为确保统计分析的真实有效性，本文收集了2010～2011赛季NBA整个季后赛中各指标的统计值，如表1所示。

表1 2010～2011赛季NBA季后赛参赛队三项技术数据指标统计表

由表 1 可得 Por=0.37，Pdr=0.63，Pft=0.77，P3pt=0.34;结合前文研究假设，将数据代入公式(1)和(2)可得:

该结果表明:在上述前提下，领先三分但没有球权的球队在防守对手作最后一攻时，在对手投三分球之前合理采取主动犯规的策略，是更优策略;由于领先三分且比赛快要结束，采用次优策略获胜的概率也较高。

结合前人的研究分析与逻辑分析可知，领先队是否提前采用犯规战术主要决定于犯规的时机、对手三分球命中率和罚球命中率。由于是否有好的犯规时机是犯规战术的前提且事先难以预测，而如果领先队采用的是主动犯规，在很大程度上会选择对手罚球命中率较低的对手进行犯规，但由于比赛攻防对抗的激烈性与情境变化的不确定性，虽然很难在瞬间做好犯规对象的最优选择，但在一定程度上具有选择主动性，唯一不确定的就是对手的三分球命中率，对手在多高的投篮命中率下采用犯规战术是更佳策略?什么时候采用犯规战术为次优策略?论文仍以2010～2011赛季NBA比赛季后赛各数据统计值的平均值和假定值作为量化依据，设定对手三分球命中率未知且罚球水平中等(Pft=0.77)，计算领先队在常规策略下和主动犯规策略下，选择两种策略胜率相同(即P防=P犯)时P3pt的值，从而得出在上述前提下，采用提前犯规策略时对手三分球命中率的临界值。

设定公式(1)的值等于公式(2)的值，根据各统计值和假定值，可得P3pt≈0.2，即在上述前提下，当对手的三分球命中率大于0.2且时机恰当时，采用主动犯规策略在理论上是合理的且获胜概率相对较高。需要指出的是，上文计算所得值为参考值，不同的球队、在不同的比赛中有不同的临界值，在实际比赛中采用犯规策略时对手的三分球命中率一般都应高于此值。

为了便于理解和分析处理，在研究中作出了一些合理的限定和假设，因此默认通过假设所得出的结论可靠的、合理的，对其产生疑问也是合理的。在文中利用模型分析虽然分析较为充分、清晰，理论上得出了两种决策的战术可能，但本文仍未对比赛所能产生的可能研究穷尽，应进一步分析到比赛时间终了，但由于在主动犯规对手罚球之后，主动权便掌握在自己手中，只要尽可能地消耗完比赛时间，就可以赢得比赛的胜利，且这一理论在实际比赛中是成立的。不过本文分析结果虽在理论上成立，但在实际比赛中并不排除有特殊情况发生，如领先队采取主动犯规战术时，出现技术犯规或违体犯规，综合笔者所统计的81场以小分差(三分以内，含三分)结束的NBA比赛中，最后24秒出现主动、被动犯规共计114次，判罚结果都为两次罚球(即一般性犯规)，因此作者在文中未将其列入技术犯规和违体犯规。虽然作者在概率分析中未将其计算在内，但不排除小概率事件出现的可能，如果出现此种情况，对于领先队将十分不利，因此在运用该战术时应特别注意犯规的动作与时机的把握，并尽可能地消耗比赛的时间。

综合实践考虑，在决胜时刻领先队选择主动犯规的情况出现得很少。究其原因可能由于在实际比赛中高强度的攻防对抗与特殊的比赛情境使得防守一方在对手出手之前来不及作出恰如其分的犯规，或担心被对手造三次罚球的犯规;或者是因为在比赛中落后方在比赛最后时刻主动犯规让对手罚球，赌对手的罚球命中率并争取进攻时间已经成为队员及教练员的一种定势思维，反其道而行之就难以让人们接受。但在最后的决胜时刻利用犯规阻止对手投三分球，并通过之间的衔接来消耗掉对手最后的时间，也是一种可供选择的策略。本案例的另一启示是在比赛之前要作充分的赛前侦查与准备，清楚地了解对手各个方面的情况，为比赛最后时刻决策作参考依据，从而提高比赛获胜的概率。从体育战术学意义讲，本研究旨在得到一量化模型，以“从点到面、由此及彼”地寻找战术活动规律并使研究成果更具科学性。

3 结论

研究分析得出，比赛情境、对手三分球和罚球命中率是决定三分领先的球队在防守对手作最后一攻时是否主动犯规的核心要素。从理论上讲，在合适的比赛时机下，对手三分球命中率达到某一临界值时，主动对其罚球命中率不高的队员进行犯规获胜的概率要高于常规防守，是决胜时刻更佳的战术决策。但可能由于大多数队员或教练员在此特殊的比赛情境下担心对手造三次罚球的犯规、来不及犯规或心理倾向与思维定势上选择坚持正常防守，但通过分析结果可知，根据比赛的情境和双方队员的特点(如三分球命中率、罚球命中率)，在时机合适时主动犯规增加了赢得比赛的机会，采用此策略并非下策。

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