直线和圆锥曲线综合题的四个突破口

☉江苏省宝应县安宜高级中学 程守权

直线和圆锥曲线综合题的四个突破口

☉江苏省宝应县安宜高级中学 程守权

直线和圆锥曲线的综合问题是以直线与圆锥曲线为载体，以函数、不等式知识为工具，融几何、代数、三角于一体，具有较强综合性的一类题目，多年来一直是高考命题的热点.然而笔者在教学中发现，许多同学做这类题时，常因找不到问题的突破口而苦恼不已.下面给出解决这类问题的四个突破口，供参考.

一、找定点、定值为突破口

评注：求解直线和圆锥曲线的最值问题时，首先要弄清题意，理顺各变量之间的关系，分清“变”中的“不变”.当问题中有定点、定值时，应尽量先求出来，然后充分利用定点、定值的性质解题.

二、构造目标函数为突破口

图1

（1）求椭圆C的方程.

评注：解决此类问题的方法是根据已知条件和信息，结合相关知识，建立目标函数或不等式，然后求出所求范围.

三、巧选变量为突破口

例3 设以原点为圆心，r为半径的圆与抛物线y2=x－1相交于P、Q两点，设θ=∠POQ（0＜θ＜π），当r为何值时，θ最大？

解：设抛物线y2=x－1与圆在第一象限的交点为P（x0，y0）.

因P在抛物线y2=x－1上，则点P的坐标为（y20+1，y0）（y0＞0）.

图2

评注：本题求解的关键是选定变量，搞清“动”与“静”的关系，在“变化”中求“不变”（最值）.

四、利用几何性质为突破口

例4 设P是直线l：x－y+9=0上的一点，过点P的椭圆以双曲线4x2－5y2=20的焦点为焦点，试求P点在什么位置时，所求椭圆的长轴长最短，并写出这个具有最短长轴的椭圆方程.

分析：题中要求的是长轴长最短的椭圆，且椭圆必须过直线x－y+9=0上的一点P，联想到椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离和为定长2a，问题转化为在直线l上求一点P，使它到l外两定点F1、F2的距离和最短.这个问题在平面几何中用对称的办法就可解决.

图3

评注：充分利用圆锥曲线的定义和平面几何性质，使最值问题的求解简捷明快.一般来说，可借助平面几何中的对称关系、三角形三边关系、两点之间线段最短等来处理.

总之，求解直线和圆锥曲线的最值问题的方法虽很多，但不管使用哪种方法，其前提都是首先要弄清题意，通过数形结合，找到题目的突破口.