漫谈高中数学教科书（苏教版）新增内容中的矛盾内涵

☉江苏省姜堰第二中学 陈余根

张奠宙教授认为：重要的数学内容和数学思想方法，都反映了某个哲学范畴或基本矛盾的数量方面的特征.矛盾性是重要数学内容和数学思想方法的内涵之一.研究高中数学教科书（苏教版）新增内容，剖析其中涉及的数学思想方法，不难发现，它们都体现出了矛盾论的观点.例如，函数、坐标方法中的运动与静止的矛盾关系；概率统计中的偶然与必然、有限与无穷的矛盾关系；而微积分又体现了局部与整体的矛盾关系，等等.下面我们以“矛盾论”的观点来研究这些新增内容，揭示其中的矛盾规律，探索其中蕴涵的数学思想方法.

一、新增内容

为了拓展中学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值、应用价值和文化价值的认识，激发学生学习数学的兴趣，高中数学教科书（苏教版）新增如下内容：必修1中有幂函数、函数与方程和函数模型及其应用；必修2中有三视图、空间直角坐标系；必修3中有算法初步、统计、概率；选修1-1中有常见逻辑用语、导数及其应用；选修1-2中有统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图；选修2-1中有空间向量与立体几何；选修2-2中有定积分；选修3-1中有数学史选讲；选修3-2中有信息安全与密码；选修3-3中有球面上的几何；选修3-4中有对称与群；选修3-5中有欧拉公式与闭曲面分类；选修3-6中有三等分角与数域扩充；选修4-1中有几何证明选讲；选修4-2中有矩阵与变换；选修4-4中有坐标系与参数方程；选修4-5中有不等式选讲.这些新增内容大都蕴涵着基本的矛盾规律.

二、矛盾内涵

1.运动与静止.

运动与静止是基本的矛盾现象，它在数学中的反映比比皆是.如函数方法、坐标方法等.新教材中增加了参数方程的内容，进一步强化了函数的思想，而函数是数学中刻画运动的主要方法.设在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应关系，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就可以用等式y=f（x）来表示这种对应关系，或者可以把函数看成是建立在两个非空的数集上的单值对应.它刻画了事物的运动变化；若要刻画事物在运动过程中的静止状态，则可以用y=f（x0）来表示.

新教材中增加了空间向量、空间直角坐标系的内容，这样就进一步深化了坐标法，可借助坐标系将点与有序实数对（x，y，z）联系起来.当点运动时，实数对（x，y，x）随之变化；反之，当实数对变化时，点也随之运动并形成轨迹.当点静止时，实数对中的变量则为定值.

在新增的导数这一部分内容中，利用导数研究函数的性质时，当函数在某一区间内为增函数时，导数f′（x）>0；当函数在某一区间内为减函数时，导数f′（x）<0；当函数在某一区间内既不增加也不减少时，f′（x）=0，这样一来，f′（x）≠0就刻画了运动，f′（x）=0就刻画了静止.

2.局部与整体.

局部与整体的矛盾首先反映在初等数学与高等数学的矛盾对立上，初等数学是从整体着眼的，高等数学则是从局部分析入手的.由于局部分析较之整体着眼更能深入揭示数学的内涵，因此高等数学要比初等数学更深刻、更能解决问题.这也是高中数学教科书（苏教版）新增内容中大量出现高等数学内容的原因.

在新增的微积分中，微分是将整体分为局部，而积分是将局部积为整体，所以微积分也反映了局部与整体的矛盾.再如定积分，它本身就是从整体到局部，再由局部到整体的矛盾的产物.在新增的复数这部分内容中，也能体现出局部与整体矛盾的对立和统一.当初，复数是人们在研究求解一元二次方程、一元三次方程时引入的，是一个局部的解决问题的手段，现在，复数已形成完整的一套理论.在数学、力学、电学以及其他科学中有了广泛应用，成为现代科学技术中普遍使用的一种工具.同时复数的研究多数是借助于实数化的方法，这是局部与整体的矛盾的统一.

3.偶然与必然.

在新增的概率论部分，充分地体现了必然性与偶然性的矛盾关系.概率论是从数量上研究必然性与偶然性的学科，它从所研究的偶然性的问题中寻找出必然的数量规律，并对这些偶然性的因素给以数量的刻画与分析，揭示了随机事件发生的不确定性和它的频率的稳定性之间的矛盾（如“中奖率为的彩票，买1000张并不一定中奖”）.

必然性与偶然性，在数学中称之为确定性与随机性，从而就有相应的确定数学与随机数学之分.旧教材基本上都是确定数学，在对学生的世界观的培养上有一定的局限性.现在新教材中增加了许多随机数学的内容，比如概率论中的古典概型、几何概型等.而在研究随机现象时，却使用确定数学的手段，如排列、组合等，从而得出确定的结论.反过来，随机数学又推动了确定数学的发展.

分析：这原本是个确定的问题，可用定积分方法求解，但我们却可以采用随机方法来研究.在直角坐标系中画出正方形（x=1、x=2、y=0、y=1所围成的部分）.用随机模拟的方法可以得到它的面积.

解：（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，a1=RAND，b=RAND；

（2）进行平移变换：a=a1+1；（其中a、b分别为随机点的横坐标和纵坐标）

（3）数出落在阴影内的点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.

图1

有兴趣的读者可做以下练习：（2007年全国高考海南卷第20题）如图1，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目.

（1）求X的均值EX；

（2）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（-0.03，0.03）内的概率.

k 2424 2425 2574 2575 P（k） 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590

答案：（1）EX=2500；（2）P=0.9147.

确定性数学正在随机化，许多原来是确定数学的范畴，现在都和随机数学有机地结合起来，成为新兴的学科.确定数学和随机数学正在相互渗透，两者已到了密不可分的地步.这也是矛盾相互依存的一个方面.中学阶段渗透这种思维方式对传统观念是一种挑战，对学生的思维能力的培养是一个升华.

4.近似与精确.

近似与精确也是数学所研究的一对矛盾，这对矛盾的转化推动了数学的发展.

首先，旧教材过分追求精确，严重地束缚了学生的思维的发展，对数学的应用功能得不到充分的认识.新教材增加了许多近似计算方面的内容，使学生真切地感受到什么是真正的数学.

我们知道，精确是相对的，近似是绝对的，因此，为了解决实际问题，必须采用近似计算，并借助近似计算求得相对精确的结果.计算机数学正是本着这个精神发展起来的.下面以基本算法为例来说明人们是如何利用计算机，将精确问题化为近似计算求得相对精确的结果.

例2 （必修3第22页例4）抛掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币质量均匀，那么当抛掷次数很多时，出现正面的频率应接近于50%.试设计一个循环语句模拟抛掷中出现正面的频率.

分析：在程序语言中，有一个随机函数“Rnd”，它能产生0与1之间的随机数.这样我们可用大于0.5的随机数表示出现正面，不大于0.5的随机数表示出现反面.

解：本题算法的伪代码如下：

利用上述程序，即可指令计算机进行计算，且可做到要多精确就多精确，从而又化近似为精确.

在新增的定积分中，也充分反映了近似与精确的矛盾转化，首先是在分割的基础上近似求和，然后再对近似和取极限，并最终求得定积分的精确值.

让中学生初步接触这些近似与精确的相互转化，有助于他们既能宏观地认识世界，又能微观地研究世界.

5.同一与差异.

同一与差异是数学中最普遍的一对矛盾.所谓“差异”，是指特殊性与不同点；所谓“同一”，是指一般性与相同点.同一性寓于差异性，同时，同一其实乃是差异间的内在联系.

在必修4中，新增的所谓“万能置换公式”：

6.有限与无穷.

有限与无穷的矛盾曾经在数学发展史上起到无法估量的推动作用，最为典型的是著名的是“第二次数学危机”.在必修3中，新增了古典概型和几何概型，虽然研究的是数学确定性和随机性的科学，但是，它们的思维过程却是从有限到无限的升华.下面从几何概型第一课时的引入分析其矛盾内涵.

6.1 创设情境.

问题1：一根长度为3m的绳子上，有A1、A2、A3、A4、A5五个点将绳子均分成六段，从A1、A2、A3、A4、A5中任选一点将绳子剪断，那么剪得的两段均不小于1m的概率是多少？

6.2 学生活动.

问题2：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

请同学们先思考如下三个问题：

（1）试验中的基本事件是什么？

（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？

（3）符合古典概型的特点吗？

这个问题的基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型，还存在着“等可能性”，但是显然不能像古典概型那样用“有限的”、可以“数”的方法来求解，这就要引入具有“无穷个点构成线、面、体”来度量作为主要特征的“测度”来求解.这里体现了有限与无穷这对矛盾的对立与统一.

不仅如此，我们还可以在形形色色、内容千差万别的数学分支中找到内在联系，这就是结构和变换，这些内容在新增的选修内容中都有所涉猎.

其实，客观世界本身就是由矛盾构成的，而矛盾又是事物发展的源泉和动力，只有认识矛盾，才能利用矛盾和解决矛盾.用哲学上矛盾的观点审视高中数学教科书（苏教版）新增内容，剖析其中涉及的数学思想方法，能让我们从更高的层面上认识数学、认识世界，对帮助学生进一步树立起辩证唯物主义的世界观和方法论也是非常有益的.

张奠宙.《数学方法论稿》.上海教育出版社，1996年.