分门别类巧求抛物线的解析式

☉山东省莱西市姜山镇绕领岭中学 张俊芝

在学习了二次函数的性质后，我们可将二次函数的解析式的求法，归纳为下面四种类型.

一、一般式法

用一般式y=ax2+bx+c（a≠0），求解抛物线的解析式，只需解决a，b，c三个待定系数即可.这就需要三个条件，方可列出三个方程，组成方程组，才能求解a，b，c，因此，当已知三个独立条件时，即可用一般式求出此时抛物线的解析式.

例1（海口市中考题）已知二次函数的图像经过点（-3，2），（2，7），（0，-1），求其解析式.

分析：只需将这三个点的坐标代入解析式，列出以a，b，c为未知数的三元一次方程组.

解：三点代入一般式即可（略）.

点评：用一般式求解抛物线的解析式，需要的三个条件也不一定是三个点的坐标，只要是与a，b，c三个待定系数有关即可.如抛物线的顶点、对称轴、最值等.

二、顶点式法

抛物线的顶点坐标为（h，k），可设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k（a≠0），此时只要再寻求另一个条件，求出a即可用顶点式求解.

例2（潍坊市中考题）已知二次函数图像如图1所示，求其解析式.

分析：观察图形可以发现抛物线的顶点坐标为（2，-1），且过点（0，3）.

解：设所求抛物线解析式为y=a（x-2）2-1.

将x=0，y=3代入所设的解析式得3=4a-1，解得a=1.

所以所求抛物线解析式为y=（x-2）2-1.

点评：知道抛物线的顶点坐标可用顶点式求解抛物线的解析式.若知道与抛物线的顶点坐标有关的其他条件如对称轴、最值等，也可用顶点式求解抛物线的解析式.

三、两根式法

若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，可采用两根式y=a（x-x1）（x-x2），其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）.

例3（哈尔滨市中考题）已知二次函数图像与x轴的交点为（1，0）和（2，0），且过点（3，4），求抛物线的解析式.

分析：由于（1，0）和（2，0）两点是图像与x轴的交点，可选用两根式.

解：依两根式可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-2）.

再将x=3，y=4代入上式可得4=a（3-1）（3-2）.

解得a=2.

所以所求抛物线的解析式为y=2（x-1）（x-2）.

点评：x=1和x=2其实就是方程a（x-1）（x-2）=0（a≠0）的两根.

四、三种形式的相互关联

从以上分析，我们发现：

1.在不同的条件下，能选准恰当的方法，求解抛物线的解析式就显得较为重要，而方法选择不准，则求起来显得烦琐，而且错误率也高.

2.同一道题中，可通过筛选，分析已知条件找出多种不同的求解方法，即一题多解.解决问题的正确途径不止一个，正是必要的数学思想之一.

例4 如图2，已知抛物线的对称轴为直线x=-2，且过点（-1，-1）和（-4，0），求抛物线的解析式.

分析：本题中既有与抛物线的顶点有关（对称轴），又有与x轴的交点坐标有关，所以可选用多种方法求解.

解法一：（一般式）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c.

依题意得：

解法二：（顶点式）依题意，抛物线顶点横坐标为-2，设顶点坐标为（-2，k），则所求解析式为y=a（x+2）2+k.

代入（-1，-1）和（-4，0）可得：

解法三：（两根式）设A（-4，0），对称轴与x轴交点为B，抛物线与x轴另一交点为C，由抛物线对称性可知AC=BC=2，所以C（0，0）.

所以设抛物线解析式为y=ax（x+4）.

随着新课程改革的逐步深入，对二次函数部分的考查正逐步降低要求，对二次函数解析式的求解，由于其难度不大，作为对基本技能的考查往往会出现在中考题中，或以填空题、选择题出现，或作为综合题的引入问题.熟练掌握这些解题方法是非常必要的.