方程思想在《三角形》一节中的应用探微

☉江苏省镇江市第九中学 姚正红

数学思想是数学教学的灵魂，是贯穿数学课程的红线，是解决问题的策略和方法；只有在教学中有意思地渗透、提醒、运用才能使学生融汇贯通，在实际中方能游刃有余.对于七年级学生来说，方程思想的学习和掌握将直接影响到今后的学习，特别是对初二、初三以及中考压轴题的分析是大有益处的，下面就方程思想在《三角形》一节中的应用进行探讨，以供大家商榷.

一、利用题目中角度之间的比值关系设未知数，再由多边形内角和定理为等量关系列方程

例1 （1）△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是（ ）三角形.

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定.

解：因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，

所以可设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°.

因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，即x＋2x＋3x＝180°，

解之得：x＝36.所以最大角∠C＝3×36°＝108°.因此，选C.

（2）四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4.

则∠A＝_____；∠B＝_____；∠C＝_____；∠D＝_____.

解：因为∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，

所以可设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°.

又因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，即x＋2x＋3x＋4x＝360.

解之，得：x＝36，所以∠A＝36°，则∠B＝72°，∠C＝108°，∠D＝144°.

练习1： （1）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2.

则∠A＝______；∠B的一个外角等于______.

（2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶5，则它们的外角的比是______.

二、利用题目中角度之间的数量关系设未知数，再由三角形内角和定理为等量关系列方程

例2 （1）在△ABC中，如果∠A＋∠B＝2∠C，那么∠C的度数是________.

A.30° B.45° C.60° D.90°

解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝2∠C，

所以3∠C＝180°，所以∠C＝60°.选C.

（2）在△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC中最大角是（ ）.

A.钝角 B.直角 C.锐角 D.平角

解：因为∠A＝2∠B＝3∠C，

因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，

练习2： （1）在△ABC中，6∠A＝4∠B＝3∠C，则△ABC中最大角是______＝______度.

（2）在△ABC中，∠C比∠A与∠B的和小20°，∠B的2倍比∠A小10°，求各角的度数.

三、利用多边形内角和定理为等量关系列方程，求边数

例3 （1）一个多边形的内角和是1980°，则它是______边形.

解：设这个多边形是n边形，则（n-2）·180°＝1980°，解之，得n＝13.

（2）如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）.

A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形

解：设这个多边形是n边形，则（n-2）·180°＝360°.

解之，得n＝4.因此选B.

练习3：（1）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是______.

四、利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和以及多边形的内角与和它相邻的外角是邻补角的等量关系列方程，求角度

例4（1）一个多边形的每一个内角都相等，且比它的一个外角大100°，则边数n＝______.

解：设每一个外角为x°，x°＋100°＋x°＝180°.解之，得x°＝40°.

（2）求下图中x的值.

解：由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，

x°+20°+x°=x°+70°，所以x=50.

练习4： 如图，∠B∶∠1∶∠2=1∶2∶3，则∠2=______.

五、利用多边形内角和是180°的整数倍为隐含条件，进行推理，求边数

例5（1）一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和是2520°，则原多边形的边数不可能是（ ）.

A.15条 B.16条 C.17条 D.18条

解：（n-2）·180°=2520°，n=16.

说明：截去一个角后是16边形，所以原来可能是：十五边形、十六边形、十七边形.

（2）若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

解：设某一个外角的度数是x°，则：

由90°+x°必须是180°的整数倍，且0°＜x°＜180°，

所以一定有：90°+x°=180°.解之，得x°=90°.

n-2=8-1，n=9.选D.

练习5： 王华在计算某个多边形的内角和时，不慎漏掉了一个角，他得出的结果是2008°，这个多边形是几边形？正确的结果应该是多少度？

六、利用题目中的角度关系，找出一个关键角设未知数，再由三角形的内角和或三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和列方程

例6 （1）如图，∠ABC=∠C=∠BDC，∠ABD=∠A，求∠A的度数.

（2）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠1=∠2，∠4=2∠3，∠BAC=70°，求∠2和∠4的度数.

解：（1） 设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，因为∠BDC=∠A+∠ABD，

所以∠BDC=2x°，进一步可得∠ABC=∠C=∠BDC=2x°.

因为∠A+∠ABC+∠C=180°，即x°+2x°+2x°=180°.

解之，得x°=36°，所以∠A=36°.

解：（2）设∠3=x°，则∠4=2∠3=2x°，∠2=∠1=∠3+∠4=3x°.

因为∠BAC+∠4+∠2=180°，∠BAC=70°，

所以70°+2x°+3x°=180°.

解之，得x°=22°，所以∠4=2x°=44°，∠2=3x°=66°.

练习6 （1）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC.

（2）已知△ABC中，∠CAB的角平分线是AD，∠B=∠BAD，∠C=60°，∠B=______，∠ADC=______.

通过上述例题的分析与讲练，在几何入门教学中有目的地增强数学思想方法的熏陶，高屋建瓴地上升到理论上，使学生有法可循，并在此基础上，提高分析问题解决问题的能力，使教为不教，是真教也.