多边形内角和公式的推导及应用

康风星

了解多边形的内角和的推导过程，深刻地领会其内在的思想方法，灵活运用公式解决实际问题，会为我们今后学习打下坚实的基础.

n边形的内角和公式：n边形的内角和＝（n－2）×180°.其中n为整数，n≥3.

一、n边形内角和公式推导方法

方法1：如图1，从一个顶点出发可以引出（n－3）条对角线，这样把多边形分割成了（n－2）个三角形，由图可知这（n－2）个三角形的内角的总和恰好是n边形的内角和，故而可得n边形的内角和为（n－2）×180°.

方法2：如图2，在多边形的内部任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了n个三角形.由图可知这n个三角形的内角的总和恰好比n边形的内角和多一个周角，故而可得n边形的内角和为n×180°－360°＝（n－2）×180°.

方法3：如图3，在多边形的边上任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了（n－1）个三角形.由图可知这（n－1）个三角形的内角的总和恰好比n边形的内角和多一个平角，故而可得n边形的内角和为（n－1）×180°－180°＝（n－2）×180°.

方法4：如图4，在多边形的外部任取一点G，和各个顶点连接，这样形成了n个三角形.由图可知这n个三角形的内角的总和比n边形的内角和多：①三角形AFG的内角和180°；②由五个三角形的一个角组成的和∠AGF；③∠GAF和∠AFG.而∠AGF＋∠GAF＋∠AFG＝180°，故而可得n边形的内角和为n×180°－180°－180°＝（n－2）×180°.

二、n边形内角和公式的应用

1.求n边形的边数.

例1若n边形的内角和是它外角和的2倍，则n等于.

解：由题意可知，（n－2）×180°＝2×360°，解得n＝6.

2.求特殊图形的各内角度数和.

例2如图5，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H.

分析：所求的8个角的度数通过作辅助线（如图6）很容易转化成求六边形的内角和.所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°.

求复杂图形的内角和，可以通过巧妙的转化成我们熟悉的基本图形，然后再求其内角和即可.

请同学们思考下面的一个问题，看谁说得又对又好.

把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为2 880°，请问原来的多边形的边数是几.

这个问题中，多边形的边数有17、18、19三种可能，你答对了吗？你能想出其中的奥秘吗？

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