对北师大版教材“梯子滑动问题”的探究

☉湖北省宜都市外国语学校 范 鸿

北师大版九年级教材上册P47有一例：如图1，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

分析 由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙6m，如果设梯子的底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙（6+x）m.根据题意，可得方程（x+6）2+72=102.解这个方程得x=

1.提出问题

从上述解题过程中，我们发现梯子底端滑动的距离x=1，这个结论是否具有一般性？即：是不是在任何情况下，底端滑动的距离都大于顶端下滑的距离？如果不是，那么“梯子滑动”是否有一定的规律？

2.猜想规律

带着这个问题，改变本题中的顶端下滑距离的数据，设梯子的底端滑动xm，重新计算：（1）当顶端下滑距离为2m，列出方程（x+6）2+62=102，解得x=2；（2）当顶端下滑距离为3m，列出方程（x+6）2+52=102，解得x=

（3）当顶端下滑距离为4m，列出方程（x+6）2+42=102，解得x=

（4）……

不难发现，当顶端下滑距离为2m时，底端滑动距离也为2m.当梯子顶端下滑距离在增大时，方程中一个加数如62、52、42……在减小，梯子底端滑动的距离在增大.但是，上述的计算结果显示：当顶端下滑距离大于2m时，底端滑动的距离小于顶端下滑的距离.提醒我们关注本题的条件，由于“斜边-直角边=2”，“两直角边之差=2”，到底哪一个是真正的条件，来影响顶端下滑距离和底端滑动距离的大小关系呢？从特殊到一般，如图1，AO＞BO，设AA′=BB′=x，则A′O=AO-x，B′O=BO+x，在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知：A′O2+B′O2=A′B′2，于是（AO-x）2+（BO+x）2=AO2+BO2，解得：

我们猜想如下：

（1）若梯子顶端下滑的距离等于两直角边之差，则梯子底端滑动的距离等于顶端滑动的距离；

（2）若梯子顶端下滑的距离大于两直角边之差，则梯子底端滑动的距离小于顶端滑动的距离；

（3）若梯子顶端下滑的距离小于两直角边之差，则梯子底端滑动的距离大于顶端滑动的距离.

3.证明猜想

如图1，AO＞BO，设AA′=x，BB′=y，则A′O=AO-x，B′O=BO+y.在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知（AO-x）2+（BO+y）2=AO2+BO2，化简并整理得y2+2BOy+（x2-2AOx）=0.将y视为未知数，解分类讨论如下：

（1）当x=y时，即-BO+，解得x=AO-BO.反之也成立.

（2） 当y＞x时，即-BO+

解得x＜AO-BO.反之也成立.

（3） 当y＜x时，即-BO+解得x＞AO-BO，反之也成立.

综上所述，猜想正确，当AO＞BO时，梯子顶端沿长直角边AO下滑，遵循上述规律.

4.变式探究

对于Rt△AOB，改变原条件“AO＞BO”，情况又会怎样？下面进行探究讨论：

（1） 如图2，在Rt△AOB中，AO＜BO，AB=A′B′.设AA′=x，BB′=y，则A′O=AO-x，B′O=BO+y.在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知（AO-x）2+（BO+y）2=AO2+BO2，化简并整理得y2+2BOy+（x2-2AOx）=0.将y视为未知数，解得y=-BO±，取y=-BO+，移项两边平方化简得：x2+y2=2（AOx-BOy）.

因为x2+y2＞0，所以AOx-BOy＞0.

又因为AO＜BO，所以x＞y.

（2）将条件“AO＞BO”变为“AO=BO”，方法同上述（1）一样，此时x2+y2=2AO（x-y）.

因为x2+y2＞0，所以x＞y.

综上所述，当AO≤BO时，梯子顶端沿短直角边AO下滑的距离总大于底端滑动的距离.

5.提炼推广

对于直角三角形，在斜边一定的情况下，两直角边的变化规律如下：

（1）对于等腰直角三角形，一直角边缩短的距离总大于另一直角边伸长的距离.

（2）对于非等腰的直角三角形，短直角边缩短的距离总大于长直角边伸长的距离.

（3）对于非等腰的直角三角形，长直角边缩短的距离和短直角边伸长的距离的大小关系须满足一定条件：

当长直角边缩短的距离等于两直角边之差时，长直角边缩短的距离等于短直角边伸长的距离；当长直角边缩短的距离大于两直角边之差时，短直角边伸长的距离小于长直角边缩短的距离；当长直角边缩短的距离小于两直角边之差时，短直角边伸长的距离大于长直角边缩短的距离.