回归经验模型调姿拓本溯源
2012-08-27湖南省常德市芷兰实验学校陈金红
☉湖南省常德市芷兰实验学校 陈金红
解题不仅是求解,更是思维过程的揭示;解题不仅是寻找答案,更需要的是“自觉分析”;解题分析不仅是数学学习的方法,更是一种理念;解题学习不仅是接受一种方法和思想,更是认识的补充、完善、提高与通俗化解读的过程.对一道初中背景的难题,尽管有些资料提供了思路,但分析粗糙复杂化了,为使初中生都搞得懂,本文就如何揭示、完善、通俗化再探如下.
题目:在两个三角形的六对元素(三对角与三对边)中,即使有五对元素对应相等,这两个三角形也未必全等.
⑴试给出一个这样的例子,画出简图,分别标出两个三角形的边长.
⑵为了把所有这样的反例都构造出来,试探求并给出构造反例的一般规律(要求过程完整,述理严密,结论明晰).
再探 数学新课标把“双基”(基础知识、基本技能)变“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验),其中把积累数学基本活动经验提到一个非常高的高度,是一种认识论的回归,因为活动经验确确实实在我们的工作中起到暗示、点拨的功效!
一、全等反例经验模型
受原型“已知两边及一边的对角相等的两个三角形不一定全等”(简称SSA)启发:见图1,在△ABC与△ABD中,AD=AC、AB=AB、∠ABD=∠ABC,已经有三对元素对应相等了;再从角的添加入手:若能使∠BAD=∠ACB,那一定就有∠ADB=∠BAC了!从而好像有“五对元素对应相等,这两个三角形也不全等”!
但细看发现:由AD=AC⇒∠ADC=∠ACB=∠BAD⇒AB∥BC,出现矛盾!宣告尝试失败!
二、相似特殊经验模型
由上失败故转而分步使条件由少到多推进展开探究,退回到非全等的相似模型如图2,在Rt△ABC与Rt△ACD中,∠B=∠ACD=90°,∠BAC=∠ADC=α,此时这两个三角形相似了,于是有三个角、一条边(AC=AC)四个元素对应相等了,在此基础上只需再添一条边如BC=CD就符合要求了!
先由Rt△ABC∽Rt△DCA可得:
三、一般相似模型
由分析特殊相似模型得到启发,五个相等元素中不可有三边对应相等的条件,故从角元素入手、边由少到多推进的办法探讨一般相似模型:见图3,△ABC与△DEF中,已有三角对应相等.
四、一般线索的本质
从而有:∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F;AB=EF、BC=DF,但AC≠DE(m≠x).
五、两个注脚
综合知:如果“五对元素(3对角元素、2对边元素)对应相等,这两个三角形也不全等”,那么这两个三角形必相似,并且每个三角形中较大边是其他两边的比例中项.
确实正如波利亚所言:没有任何问题是可以解决得十全十美的,总剩下些工作要做,经过充分的探讨与钻研,我们能够改进这个解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平.当然在这个“节省解题力量、开发解题智慧”的过程中,我以为运用“回归经验模型,调姿拓本溯源”不失为一大良策!
1.黄玉华.在数学解题中试行波利亚“怎样解题表”的做法和体会.中学数学教学参考(初中).2010年第1-2期.
2.陈金红.不要放弃更初等的想法.中学数学教学参考(初中).2012年第1-2期.