所有抛物线形状都应该是相同的

王伟民（太和县宫集镇中心学校 安徽 阜阳 236652）

抛物线是中学数学和物理学科的一种重要图形.对二次项系数绝对值相等的这种特殊类型抛物线形状的描述，不同版本的教科书和相关的教辅资料，几乎无一例外地给出了“形状相同”的说法.笔者以为，这种说法是欠妥的.现以义务教育课程标准实验教科书九年级《数学》下册［1］及与之配套的《教师教学用书》［2］为例进行说明.

教科书第6～9页给出了例2、例3两道例题，分别要求在同一直角坐标系中画出几个二次项系数相等的二次函数的图像，并在两例题的解题之后，给出了类似的两个问题讨论，即

有什么关系？［1］

在例2、例3解题之后，文献［1］又归纳出“一般地，抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同”［1］的结论.

从上面列举的这些例子可以看出，编者似乎欲向读者传递这样一种信息：二次项系数的绝对值相等，是几个二次函数的图像——抛物线“形状相同”的必要条件.换言之，若二次项系数的绝对值不等，则其图像的形状便不相同.实际上，这种信息已经“发挥”了作用，不但多种教辅资料中有这样的说法，而且，绝大多数教师在课堂教学中，也有这样的讲法.应该说，这是错误的.

众所周知，“形状相同”一般是对相似形而言，几个相似的图形，尽管大小不一定相同，却也可以说“形状相同”.文献［1］在第27章“相似”的引言中说道“在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形，如国旗上大小不同的五角星，还有不同尺寸同底板的相片等等”（第33页），并在第一节给出了相似的定义——“形状相同的图形叫做相似图形”（第34页），这虽说只是“相似图形”的描述性定义，却也道出了“形状相同”的实质，所谓的“形状相同”，指的就是“图形相似”.

那么，不同的抛物线是否也可看作相似图形，从而也说它们的“形状相同”呢？

对于一般形式的二次函数y＝ax2＋bx＋c，式中a的正负决定抛物线的开口方向，而a绝对值的大小则决定抛物线的开口大小，a的绝对值越大，抛物线的开口越小.几个不同的二次函数，只要它们的二次项系数的绝对值相等，其图形的形状和大小也完全相同，其中的一个图形可以通过平移或翻转而与另一个图形完全重合，这样的两条抛物线应该说是全等形.

可以证明，不论二次项系数的绝对值是否相等，二次函数的图像都相似.因而也可以说，所有的抛物线形状都是相同的.由于抛物线的开口大小仅与二次项系数的绝对值大小有关，所以，为了讨论问题的方便，只需对二次项系数为正数，且一次项系数及常数项均为零这种最简的情形进行证明即可.

需要说明的是，在很多情况下，在同一坐标系中观察不同的二次函数图像时，之所以会产生“看”起来“形状不同”的感觉，主要是因为观察的范围选择不合适.比如图1中的两条抛物线y＝x2与y＝2x2，若选择同样的高度观察，怎么“看”它们也不相似，但若将观察抛物线y＝2x2的范围适当调整——将观察y＝2x2的高度降为原来的，用y＝2x2上的弧线与y＝x2上的弧线相比较，便会发现，两者形状完全相同.这就如同由同一人的同一张底板冲出的大小不等的两张照片，本来是相似的，但是，如果拿大照片上人的一只眼睛去和小照片上的人脸相比较，二者肯定是不相似的.

图1

这样看来，对于所有的二次函数，不论它们二次项系数的绝对值是否相等，其图像都是相似的.因此说，所有的抛物线形状都应该是相同的.

既然“形状相同”是所有抛物线的“共性”，而不为某些类型的抛物线所“独有”，那么，对于二次项系数绝对值相等的抛物线，再说其“形状相同”，不仅显得多余，而且还会给读者一种“若二次项系数的绝对值不等，则其图像的形状便不相同”的错误导向.打个不恰当的比方，“有两只眼睛”是所有人的共性，但是，若说“中国人长着两只眼睛”——尽管该语句从逻辑上看没有任何问题，但这样的说法势必给人一种“外国人长的不是两只眼睛”的错觉.所以，笔者以为，教科书及相关资料中，对二次项系数绝对值相等的、这种“特殊”抛物线形状的描述，应改为“它们不但形状相同，大小也相等”才算妥当.

1 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书·数学（九年级下册）.北京：人民教育出版社，2009.6～9，34

2 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书·数学（九年级下册）·教师教学用书.北京：人民教育出版社，2009.11～12