运用微积分求解物理问题的方法

杨国平

（绍兴市第一中学 浙江 绍兴 312000）

高考对物理学科提出了5种能力要求，其中之一是“运用数学知识解决物理问题的能力”.在新课程改革的背景下，简单的微积分已下放到高中数学课程中，这对物理学科的教学无疑是一大利好.

1 导数应物理而生

物理问题中经常会涉及到变化率，并在此基础上建立相应的物理概念，例如，在研究瞬时速度、加速度、角速度等概念的过程中，呼唤着导数的产生.导数是用来解决变化率的有效工具，瞬时变化率就是导数，其几何意义是切线的斜率，这在物理图像中经常涉及到.在有关内容已下放到高中数学以后，教师应该引导学生用导数来描述物理问题，这对学生准确理解物理概念、规律是很有好处的.经常用到的结论有：常数C′＝0；幂函数（xn）′＝nxn－1；三角函数（sinx）′＝cosx；复合函数求导法则

2 物理因导数而严谨

普通物理知识大多采用微积分来描述，而高中物理常把它们降解为初等的数学手段，但有些知识是很难回避微积分的，高中阶段往往一笔带过，这些知识自然就成为学生理解上的瓶颈.其实，只需引用简单的微积分常识（下面以三角函数sinθ为例），就可以圆满地解决不少问题.

2.1 简谐运动模型

质点的位移x随时间t的变化规律满足

则其速度的变化规律为

加速度

由此看到：做简谐运动的质点的位移、速度、加速度都是按正弦式规律变化的.另外

得到周期公式

2.2 正弦交流电模型

线圈在匀强磁场中匀速转动，在中性面时记作t＝0，穿过线圈的磁通量Φ＝BScosωt，则线圈中的电动势

电流

若线圈有N匝，得到感应电动势的最大值为

（1）有效值：基于电流的热效应来定义.假设有一个定值电阻R，在交流的一个周期T内，产生的热量

代入得

对照Q＝RT，得到

（2）LC振荡电路：通过电感线圈的电流为

则线圈两端的电压

3 导数在物理题解中的应用

【例1】已知某质点的运动学方程为x＝2t2＋3t＋4（单位：m），试求第1s末质点的瞬时速度、加速度.

解析：根据速度的定义

把t＝1s代入得

加速度

可以证明，满足位移方程x＝at2＋bt＋c的一定是匀变速直线运动，式中c为t＝0时刻质点相对于原点的初始位置，质点的初速度等于b，加速度等于2a.

【例2】在水平地面上方10m高处，以20m／s的初速度沿斜上方抛出一物体，不计空气阻力，g取10 m／s2，求物体的最大射程［1］.

解析：以抛出点为原点，建立水平、竖直方向的坐标系xOy，如图1，设v0与x轴的夹角为θ，飞行时间为t，有

图1

联立（1）、（2）式消去参数θ，得

代入数据得

当x取最大值时，（3）式右边对t的一阶导数等于零，即

解得

代入（3）式得

【例3】（2011年清华大学自主招生试题）如图2（a）所示，水平高台上有一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳跨过定滑轮相连.拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动，则在拖车行进的过程中，小车的加速度

A.逐渐减小 B.逐渐增大

C.先减小后增大 D.先增大后减小

图2

解析：把拖车的速度分解为图2（b）所示的两个方向，小车的速度等于v1＝vcosθ，则加速度

因θ逐渐减小，选项A正确.

解后语：本题考查加速度牵连关系，处理方法比速度要复杂得多，时有被错解（或歪打正着）的情况.一些基本函数（如三角函数sinθ、幂函数xn等）的微积分形式很常见，记住这些简单结论就可以解决不少问题.

【例4】（2003年高考上海卷第22题）如图3所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O，C处分别接有短电阻丝（图中用粗线表示），R1＝4Ω、R2＝8Ω，导轨其他部分电阻不计.导轨OAC的形状满足y＝2sin（x）（单位：m）.磁感应强度B＝0.2T的匀强磁场垂直于导轨平面.一足够长的金属棒在水平外力作用下，以恒定的速率v＝5.0 m／s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻.求：滑动过程中通过金属棒的电荷量有多少.

图3

解析：根据电磁感应定律

代入后得到

由此可得

【例5】（第22届全国中学生物理竞赛预赛第9题）如图4所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O.一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦因数为μ.圆环处于磁感应强度大小为B＝Kr、方向竖直向上的恒定磁场中，式中K为大于零的常量，r为场点到轴线的距离.金属细圆柱与圆环用导线ed连接.不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场.问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω匀速转动？

图4

分析：匀速转动应符合力矩平衡条件：M外＝M安＋M摩，为求安培力矩，关键是求出OA棒上的电动势.考虑一个周期T（OA棒转动一周）内，磁通量的变化量ΔΦ＝BS，由于B是变化的，把它沿半径方向分割成若干个带状圆环，再积分即可.

解答：设沿OA向外第i个微元段的半径为r，该处带状圆环的电动势

安培力矩

摩擦力矩

代入得

解得

解后语：在处理变量时，以前普遍采用微元法，其实质就是求导、积分的过程.涉及到两个以上的变量时（比如例5中B随着r变化，传统的方法是采用微元分割，借助高阶小量近似，写成相邻两项的差值，累加得到结果），用微元法需要有较高的技巧，而运用导数这一工具理应是最有效的.对于求OA棒上的电动势，本题还可采用以下解法：

第i个微元段的电动势

可见，求OA棒上的电动势，用积分方法会简洁一些.

1 杨国平.物理解题中的递推方法.物理通报，2012（5）：56～59